Question

Por favor, alguém teria como explicar este exercício.

O número binário 101010 (base 2), escrita na base 5 é?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Poke, que a resolução é simples.
Pede-se para escrever, na base 5, o seguinte número que está na base "2", que vamos chamá-lo de um certo "n", apenas para deixá-lo igualado a alguma coisa:

n = 101.010  ---- para demonstrar que ele está na base "2", basta que o representemos assim:

n = (101.010)₂

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
 
i) Primeiro vamos encontrar o número dado na base "10". Para isso, basta que dividamos o número dado em potências de "2", tal qual você o faria se o número estivesse na base "10". Assim, teremos que "n", na base "10" será (note que o número na base "2" é: 101.010):

n = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰
n = 1*32 + 0*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1
n = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0
n = 42 <--- Este é o número (101.010)₂ transformado para a base "10", ou seja, poderíamos representá-los assim:

(101.010)₂ = (42)₁₀


ii) Agora vamos transformar "42" para a base "5". Para isso, basta que você vá dividindo "42" por "5" até que não dê mais. Depois é só tomar o último quociente seguido dos restos tomados de baixo pra cima.
Assim, teremos:

42/5 = dá quociente igual a 8 e resto 2.
8/5 = dá quociente igual a "1" e resto 3.
Paramos aí, pois o quociente "1" já não dá mais pra dividir por "5". Logo, tomaremos o último quociente (1) seguido dos restos tomados de baixo pra cima, que foram os restos 3 e 2, formando o número "132".  Assim, o número 42, na base 10 é igual a

132 na base "5" <--- Esta é a resposta.

Ou seja, você poderá representar desde o começo, que é: "101.010", na base "2", é equivalente a "42", na base 10, que, por sua vez, é equivalente a "132", na base 5, ou seja, você poderá representar assim:

(101.010)₂ = (42)₁₀ = (132)₅.

Bem, a resposta já está dada. Agora por mera curiosidade, vamos ver se 132, na base 5, é realmente igual a 42 na base "10". Para isso, vamos formar potências de "5" do número "132", como se você faria se ele estivesse na base 10. Veja:

1*5² + 3*5¹ + 2*5⁰ = 1*25 + 3*5 + 2*1 = 25 + 15 + 2 = 42 <--- Olha aí como é verdade.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.