Question

Temos que duas circunferências de equações λ1: x² + y² = 16 e λ2: x² + y² + 4y = 0 são tangentes, isto é, possuem um ponto em comum. Determine a coordenada desse ponto.

Answer 1

Olá Cely.


Organizando e resolvendo as equações:

$\mathsf{\lambda_1:x^2+y^2=16}\\\\\mathsf{\lambda_2=x^2+y^2+4y=0}\\\\\\\mathsf{\lambda_1:x^2=16-y^2}\\\\\\\mathsf{\lambda_2:16-y^2+y^2+4y=0}\\\\\mathsf{\lambda_2:16+4y=0}\\\\\mathsf{\lambda_2:4y=-16}\\\\\mathsf{\lambda_2:y=\dfrac{-16}{4}}\\\\\boxed{\mathsf{\lambda_2:y=-4}^ }\\\\\\\mathsf{\lambda_1:x^2+(-4)^2=16}\\\\\mathsf{\lambda_1:x^2+16=16}\\\\\mathsf{\lambda_1:x^2=0}\\\\\mathsf{\lambda_1:x=\sqrt{0}}\\\\\boxed{\mathsf{\lambda_1:x=0}}$


O ponto de tangência é P(0, -4).


Dúvidas? comente.

Answer 2

Primeiro, resolve-se o sistema de equações:
$\left \{ {{ x^{2} + y^2 = 16} \atop { x^{2} + y^2 + 4y = 0}} \right.$

Temos então, que a primeira equação é x² + y2 = 16, portanto:

x² + y² + 4y = 0 ⇒ 16 + 4y = 0 ⇒ 4y = -16 ⇒ y = -16/4 ⇒ y = -4

x² + y² = 16 ⇒ x² + (-4)² = 16 ⇒ x² + 16 = 16 ⇒ x² = 16 - 16 ⇒ x² = 0 ⇒ x = 0

O ponto de intersecção das circunferências é {0 , -4}