Question

1) No triângulo ABC os pontos D e E são os pontos médios dos segmentos AC e AB respectivamente. Sabendo que DE mede 7cm, determine a medida de BC.

Answer 1

$Os \ segmentos \ \overline{AE} \ e \ \overline{AD} \ medem \ \mathbf{x} \ e \ \mathbf{y} \ , \ respectivamente \ . \\ Com \ isso \ , \ podemos \ afirmar \ que \ \overline{AC} \ mede \ \mathbf{2x} \ e \ que \ \overline{AB} \ \mathbf{2y} \ . \\ \\ Pela \ an\acute{a}lise \ do \ \Delta ABC \ e \ \Delta ADE \ temos \ que \ o \ \hat{a}ngulo \ \hat{A} \ \acute{e} \\ comum \ aos \ dois \ tri\hat{a}ngulos \ . \ O \ \hat{a}ngulo \ \hat{A} \ ser\acute{a} \ representado \\ por \ \mathbf{\alpha} \ .$

$Aplicando \ o \ Teorema \ dos \ Cossenos \\ \\ no \ \Delta ADE \ : \\ \\ \overline{ED}^2 \ = \ \overline{AD}^2 + \overline{AE}^2 -2 \overline{AD} . \overline{AE} . cos \ \alpha \\ 49 \ = \ x^2 +y^2-2.x.y.cos \ \alpha$

$no \ \Delta ABC \ : \\ \\ \overline{BC}^2 \ = \ \overline{AC}^2 +\overline{AB}^2-2 . \overline{AC} . \overline{AB} . cos \ \alpha \\ \overline{BC}^2 \ = \ (2x)^2+(2y)^2-2.(2x).(2y).cos \ \alpha \\ \overline{BC}^2 \ = \ 4x^2+4y^2-8.x.y.cos \ \alpha$

$Agora \ montando \ o \ sistema \ linear \ , \ temos \ que \ : \\ \\ \left\{\begin{matrix} 49 & = & x^2 & + & y^2 & -2.x.y.cos \ \alpha \\ \overline{BC}^2 & = & \ 4x^2 & + & 4y^2 & -8.x.y.cos \ \alpha & \end{matrix}\right.$

$Irei \ multiplicar \ a \ linha \ 1 \ desse \ sistema \ por \ \maths{(-4)} \ e \\ som\acute{a}-la \ a \ linha \ 2 \ ,$

$\overline{BC}^2 +49.(-4) \ = 4x^2+4y^2 -8.x.y.cos \ \alpha -4x^2-4y^2+8.x.y.cos \ \alpha \\ \overline{BC}^2 +49.(-4) \ = \ 0 \\ \overline{BC}^2 \ = \ 49.(4) \\ \overline{BC} \ = \ ^+_- \ 14 \ cm \\ \\ Por \ \overline{BC} \ indicar \ uma \ medida \ temos \ que \ seu \ valor \ deve \ ser \ positivo \ . \\ Logo \ \overline{BC} \ = \ 14 \ cm$