Question

Pediu-se a um aluno que somasse todos os números das páginas de um livro que foram numeradas de 1 até n. No entanto, ao efetuar a soma ele repetiu um desses números duas vezes, por engano, resultando na soma 2010, incorretamente. Assim, o número da página, adicionado duas vezes pelo aluno, é a) 74. b) 63. c) 60. d) 57. e) 49.

Answer 1

i) A soma dos números de 1 até $n$ é dada pela fórmula $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Chamemos de $x$ o número que o guri somou duas vezes. No fim das contas, a soma que ele encontrou foi $\dfrac{n(n+1)}{2}+x$. Além disso, o guri, obviamente, somou um número de página inferior a $n$ e maior que 1, pois não faz sentido ele somar o número de todas as páginas de 1 até $n$, pular algumas páginas e somar o número de outra página qualquer, ou seja, $1\leq x \leq n$.

ii) Sabe-se que a soma que o guri encontrou foi 2010, ou seja

$\dfrac{n(n+1)}{2} + x = 2010 \Rightarrow x = 2010 - \dfrac{n(n+1)}{2}$

Aqui não temos muito o que ser feito, apenas começar a atribuir valores para $n$ na esperança de achar um valor satisfatório de $x$ (satisfatório, nesse caso, é $1\leq x\leq n$)

n = 63
$x = 2010 - \dfrac{63.64}{2} \Rightarrow x=2010 - 63.32 \Rightarrow x=2010 - 2016 \\ x = -6 \ \mathrm{(n\tilde ao \ conv\acute em)}$

n = 62
$x = 2010 - \dfrac{62.63}{2} \Rightarrow x=2010 - 31.63 \Rightarrow x=2010 - 1953 \\ x = 57$

n = 61
$x = 2010 - \dfrac{61.62}{2} \Rightarrow x=2010 - 61.31 \Rightarrow x=2010 - 1891 \\ x = 119 \ \mathrm{(n\tilde ao \ conv\acute em)}$

Portanto o guri somou o número de 62 páginas e repetiu a página 57.

R: d) 57