Question

Considere um planeta de massa M e raio R, sem rotação e sem atmosfera. Um objeto é lançado para cima, mas só consegue alcançar uma altitude h= 3R e depois retorna à superfície do planeta. Determine uma fórmula para a velocidade do lançamento. Considere G como sendo a constante gravitacional.

Answer 1

V²=Vo²+2ah
0=Vo²+2ah
-Vo²=2ah
Vo²=-2ah

Como o sentido da aceleração gravitacional é contrário ao de Vo:
Vo²=-2(-a)h
Vo²=2ah

F=m.a
F/m=a
GMm/r²/m=a
GMm/r²m=a
GM/r²=a

Vo²=2.G.M.h/r²

Como a altitude é 3r e ele partiu de r (a distância da superfície do planeta ao núcleo é igual ao raio r), a altura foi:
h=S-So
h=3r-r
h=2r.

Substituindo:
Vo²=2GMh/r²
Vo²=2GM2r/r²
Vo²=4GM/r
Vo=√(4GM/r)
Vo=2.√(GM/r)