Question

como resolver uma equação usando o método de cramer?

Answer 1

O método de Cramer é usado para resolver sistemas de equações que têm o mesmo número de incógnitas e equações. Por exemplo:

$i) \left\{ \begin{array} ax+y-z = 3\\ 2x-3y+z = 0\\ -x+2y-z=1 \end{array} \right. \\ \\ ii) \left\{ \begin{array} ax+2y-z = 2\\ x-y+3z = -1\end{array} \right.$

O sistema (i) tem três equações e três variáveis, portanto pode-se usar o método de Cramer nele. O mesmo não pode ser dito do sistema (ii), pois ele tem duas equações e três variáveis.

(Como seu nível é ensino superior vou me permitir usar a notação matricial de sistemas de equações)

De um modo geral, pode-se usar o método de Cramer em sistemas da forma

$\left( \begin{array} aa_{11} \ a_{12} \ a_{13}\ \cdots \ a_{1n} \\ a_{21} \ a_{22} \ a_{23}\ \cdots \ a_{2n} \\ a_{31} \ a_{32} \ a_{33}\ \cdots \ a_{3n} \\ \vdots \\ a_{n1} \ a_{n2} \ a_{n3}\ \cdots \ a_{nn}\end{array} \right). \left( \begin{array} ax_1 \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array} \right) = \left( \begin{array} ab_1 \\ b_{2} \\ b_{3} \\ \vdots \\ b_{n}\end{array} \right)$

Onde cada um dos $a_{ij}$ são os coeficientes, os $x_i$ são as variáveis e os $b_i$ são os termos independentes. Chamemos de

$D = \left| \begin{array} aa_{11} \ a_{12} \ a_{13}\ \cdots \ a_{1n} \\ a_{21} \ a_{22} \ a_{23}\ \cdots \ a_{2n} \\ a_{31} \ a_{32} \ a_{33}\ \cdots \ a_{3n} \\ \vdots \\ a_{n1} \ a_{n2} \ a_{n3}\ \cdots \ a_{nn}\end{array} \right|$

e $D_i$ o determinante da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna $i$ pelos termos indepententes. Por exemplo,

$D_2 = \left| \begin{array} aa_{11} \ b_{1} \ a_{13}\ \cdots \ a_{1n} \\ a_{21} \ b_{2} \ a_{23}\ \cdots \ a_{2n} \\ a_{31} \ b_{3} \ a_{33}\ \cdots \ a_{3n} \\ \vdots \\ a_{n1} \ b_{n} \ a_{n3}\ \cdots \ a_{nn}\end{array} \right|$

Desse modo, temos que $x_i = \dfrac{D_i}{D}, \ \forall i, 1\leq i \leq n$. Esse é um método bastante complicado, principalmente para sistemas com muitas equações, mas a partir dele pode-se tirar uma informação bem interessante: se $D=0$ não se podem realizar as divisões e, nesse caso, o sistema é indeterminado.

Para concluir, note que é necessário fazer a verificação da solução encontrada, pois apenas as divisões e os determinantes não garantem que os valores que você encontrou são, realmente, a solução do sistema; do lado positivo, quando você faz isso e a solução encontrada por esse método não é a solução do sistema, o sistema não tem nenhuma solução.