Question

Calcule a seguinte integral indefinida:
$\displaystyle \int\frac{x^3}{(a^8+x^8)}\,dx$

Answer 1

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Calcular a integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle\int\!\frac{x^3}{a^8+x^8}\,dx\qquad\qquad (a\ne 0,~~constante)}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int\!\frac{x^3}{(a^4)^2+(x^4)^2}\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{4}\int\!\frac{1}{(a^4)^2+(x^4)^2}\cdot 4x^3\,dx\qquad\quad(i)}$


Faça a seguinte substituição:

$\mathsf{x^4=u\quad\Rightarrow\quad4x^3\,dx=du}$


Substituindo, a integral $\mathsf{(i)}$ fica

$=\mathsf{\displaystyle\frac{1}{4}\int\!\frac{1}{(a^4)^2+u^2}\,du}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{a^4}\,arctg\!\left(\frac{u}{a^4}\right)+C}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{4a^4}\,arctg\!\left(\frac{x^4}{a^4}\right)+C}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$

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Observação: para o último passo foi usado o resultado de uma integral recorrente, que está tabelada:

$\mathsf{\displaystyle\int\!\frac{1}{b^2+w^2}\,dw=\frac{1}{b}\,arctg\!\left(\frac{w}{b}\right)+C\qquad\quad(b\ \textgreater \ 0,~~constante)}$

que pode ser facilmente obtida por substituição trigonométrica, ou ainda lembrando que ao derivar a função arco-tangente (via derivada da função inversa) obtemos tal expressão como resultado (ver anexo).

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Resposta:   $\mathsf{\displaystyle\int\!\frac{x^3}{a^8+x^8}\,dx=\frac{1}{4a^4}\,arctg\!\left(\frac{x^4}{a^4}\right)+C}\qquad\quad\checkmark}$


Bons estudos! :-)


Tags:  integral indefinida função racional soma de quadrados substituição trigonométrica arco tangente arctan arctg cálculo integral