Question

Determine o valor real de "m", para o gráfico da função (f)=x²-2mx+m está todo acima do eixo das abscissas.

Por favor. Obrigada!

OBS: não é "m>1"

Answer 1

Gráfico acima do eixo das abscissas → Δ < 0
Ou seja, as raízes dessa função não pertencem ao conjunto dos números reais.

Assim:
Δ = (-2m)² - 4(1)(m)
Δ = 4m² - 4m

4m² - 4m < 0
4m² - 4m < 0
4m(m - 1) < 0
4m < 0
m < 0

OU

m - 1 < 0
m < 1


Resposta: 0 < m < 1


Estudo do sinal no anexo.

Answer 2

Essa função do 2o grau, o termo x ao quadrado é positivo então a parábola tem concavidade para cima, semelhante a letra U.
O ponto mais baixo dessa parábola é o Y do vértice ou Yv.
Yv = -delta ÷ 4a
Se é para ela estar acima do eixo das abscissa
o -delta ÷ 4a > 0.

Então como delta é b^2 - (4*a*c)
Mas quem é a b e c nesse caso?
a = 1
b=-2m
c=m
Delta é
(-2m)^2 - 4*1*m
4m^2 - 4m Esse é delta mas quem deve ser maior que zero é -delta ÷ 4a

-(4m^2 - 4m) ÷ 4*a
-(4m^2 - 4m) ÷ 4*1
-4m^2 + 4m ÷4
Dividindo tudo por 4 fica
-m^2 + m (Esse é -delta ÷ 4a)
Mas esse valor deve ser maior que zero para estar acima do eixo das abscissas.

Então
-m^2 + m > 0
Resolvendo coloca m em evidência
-m (m + 1) > 0 multipl ambos membros por -1
m (m - 1) < 0

Temos para dar zero analise cada m acima
m >0
m -1 < 0

m>0
m < 1

m deve ser maior que zero e menor que 1.
Qualquer valor nesse intervalo é solução.