Question

dada uma pg em que a2 = -6 e a6 = 68, calcule sua razão

Answer 1

$a_{n} = a_{1} * q^{n-1}$

($a_{2}$)
$-6= a_{1} *q$  ∴ $a_{1} = \frac{-6}{q}$

$( a_{6} )$
 $68 = a_{1} * q^{5}$ ∴  Substituindo $a_{1}$

$68= \frac{-6}{q} * q^{5}$

$\frac{68}{-6} = q^{4}$  ∴  $q = \sqrt[4]{ \frac{68}{-6} }$

$q = \sqrt[4]{ \frac{34}{-3} }$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Vitinho, que a resolução é simples.

Tem-se: dada uma PG, em que o segundo termo (a₂) é igual a "-6" e que o sexto termo (a₆) é igual a 68, pede-se a razão dessa PG.

Antes note que o termo geral de uma PG é dado por:

an = a₁*qⁿ⁻¹ , em que "an" é o termo que se quer encontrar. Por sua vez, "a₁" é o 1º termo. Por seu turno, "q" é o valor da razão da PG. E, finalmente, "n" é o número de termos da PG.
Mas como o termo que foi dado foi o 2º termo (e não o primeiro) e considerando que a₂ = a₁*q , então vamos logo encontrar o valor de "a₁" por esta fórmula:

a₂ = a₁*q ----- como "a₂"= -6, então teremos:
-6 = a₁*q ---- ou, invertendo-se, teremos:
a₁*q = - 6
a₁ = -6/q   <--- Este é o valor do primeiro termo em função do 2º termo e da razão.

Agora vamos na expressão do termo geral, que está logo no início e que esta:

an = a₁*qⁿ⁻¹ ---- substituindo-se "an" por "a₆" que, por sua vez, é igual a "68"; substituindo-se "a₁" por"-6/q"; e finalmente, substituindo-se "n" por "6", pois estamos querendo encontrar o valor da razão (q) em função do último termo (a₆), teremos:

68 = (-6/q)*q⁶⁻¹ ----- desenvolvendo, teremos:
68 = (-6/q)*q⁵ ---- note que isto é a mesma coisa que:
68 = (-6)*q⁵/q¹ ----- veja que temos uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:

68 = (-6)*q⁵⁻¹
68 = -6*q⁴ ---- vamos apenas inverter, ficando:
-6*q⁴ = 68 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com:
6q⁴ = -68
q⁴ = -68/6 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos:
q⁴ = -34/3
q = ⁴√(-34/3) <---- Impossível, pois radicais de índice par (veja que "4" é par) não aceitam radicandos negativos (veja que "-34/3" é negativo). Logo, a ser considerado o conjunto-solução nos Reais, poderemos afirmar que, simplesmente a questão NÃO tem solução.

A não ser que você, Vitinho, reveja tudo e possa fornecer outras informações diferentes das que foram dadas no enunciado da sua questão.
Portanto, a nossa resposta é que a razão (q) não existe, pelos dados até agora informados.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.