Question

A partir de um pedaço de espelho triangular, deseja-se fazer um corte, de maneira a obter um retângulo, como indicado na figura. Quais devem ser as medidas de x e y para que se obtenha um retângulo com a maior área possível? Qual é essa área?

Answer 1

Basta usar a imaginação ... 

podemos imaginar o triangulo como um paralelepípedo e o retangulo como 1/4 de tal ... ou apenas termos o retangulo como metade desse triangulo ...

assim temos ...

At = b.h/2

At = 90.60/2

At = 90.30

At = 2700 cm² tem a área do triangulo 

queremos a metade ...

2700/2 = 1 350 cm²   de área 

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as medidas serão as metades...

x = 90/2 = 45 cm

y = 60/2 = 30 cm                                                 ok

Answer 2

Façamos por semelhança de triângulos.

O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE, pois ambos têm ângulos congruentes. Assim:
 x  = 60 - y
90      60
5400 - 90y = 60x  (para simplificar, dividimos todos os termos por 30)
180 - 3y = 2x
- 3y = 2x - 180
  3y = 180 - 2x 
    y = 180 - 2x               
               3
Sabemos que a área desse retângulo é o produto das medidas x e y. Logo:
A = x·y
A = x·(180 - 2x)               
               3
A = - 2x² + 180x
          3        3
A = - 2x² + 60x  ---- (a = - 2/3 ; b = 60 ;  c = 0)
         3

A função quadrática A, tem ponto de máximo. Logo, calculemos o Xv.
Xv = -  b 
          2a
Xv = -    60   
          2(-2/3)
Xv = - 60
        - 4/3
Xv = 60·3
           4
Xv = 180
          4
Xv = 45 cm

Agora, calculemos o y.
y = 180 - 2x
           3
y = 180 - 2(45)
            3
y = 180 - 90
           3
y = 90
       3
y = 30 cm

Por fim, calculemos a área máxima.
A = x·y
A = 45·30
A = 1350 cm²

Portanto, esse retângulo terá medidas 45 e 30 cm e área máxima de 1350 cm².

Veja a figura em anexo.