Question

Seja f: R-->R tal que f(3x-1)=√9x^2+1. Determine o valor de f(0).

Answer 1

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Temos uma função $\mathsf{f:~\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ de modo que

$\mathsf{f(3x-1)=\sqrt{9x^2+1}}$

para todo $\mathsf{x\in\mathbb{R}.}$


Sabemos que a função

$\mathsf{g(x)=3x-1}$

usualmente definida é injetora, ou seja, não existem dois elementos diferentes do domínio de $\mathsf{g}$ que tenham a mesma imagem.

Por causa da injetividade desta função, podemos encontrar o único valor de $\mathsf{x}$ de modo que $\mathsf{g(x)=0:}$

$\mathsf{g(x)=0}\\\\ \mathsf{3x-1=0}\\\\ \mathsf{3x=1}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1}{3}\qquad\quad\checkmark}$


e desta forma,

$\mathsf{f(0)}\\\\ =\mathsf{f\bigg[g\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)\bigg]}\\\\\\ =\mathsf{\sqrt{9\cdot \bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^{\!2}+1}}\\\\\\ =\mathsf{\sqrt{9\cdot \dfrac{1}{9}+1}}\\\\\\ =\mathsf{\sqrt{1+1}}\\\\\\ =\mathsf{\sqrt{2}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$