Question

Um atleta iniciou seus treinamentos correndo 5km e, após esse dia, percorreu sempre 0,5km a mais que o dia anterior, correndo 17km no último dia de treino. Dessa forma, a soma das distâncias percorridas diariamente por esse atleta atingirá um total de 275km em : a) 21 dias b) 23 dias c) 25 dias
Quero cálculos !!!

Answer 1

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Seja N (maiúsculo) o número de de dias necessários para que o atleta atinja a marca de 275 km.

De acordo com os dados do problema,

•   1º dia:  percorreu 5 km;

•   2º dia:  percorreu 5 + 0,5 = 5,5 km;

•   3º dia:  percorreu 5,5 + 0,5 = 6 km;

$\vdots$

•   Nº dia:  percorreu 17 km.


Note que o número de quilômetros percorridos em cada forma uma progressão aritmética

(5,  5,5,  6,  ...,   17)


de N termos, cujo primeiro termo é $\mathsf{a_1=5,}$ e a razão é r = 0,5.


Pela fórmula do termo geral, o termo na posição n dessa P.A. é dado por

$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}\\\\ \mathsf{a_n=5+(n-1)\cdot 0,\!5}$


Queremos encontrar um n, de modo que a soma dos n primeiros termos seja 275:

$\mathsf{S_n=275}\\\\ \mathsf{\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=275}\\\\\\ \mathsf{(a_1+a_n)\cdot n=2\cdot 275}\\\\ \mathsf{(a_1+a_n)\cdot n=550}\\\\ \mathsf{\big[5+5+(n-1)\cdot 0,\!5\big]\cdot n=550}\\\\ \mathsf{\big[10+0,\!5n-0,\!5\big]\cdot n=550}$

$\mathsf{\big[9,\!5+0,\!5n\big]\cdot n=550}\\\\ \mathsf{9,\!5n+0,\!5n^2=550}\\\\ \mathsf{0,\!5n^2+9,\!5n-550=0}\\\\ \mathsf{n^2+19n-1\,100=0}$


Basta resolver esta equação quadrática:

$\mathsf{n^2+19n-44\cdot 25=0}\\\\ \mathsf{n^2+44n-25n-44\cdot 25=0}\\\\ \mathsf{n(n+44)-25(n+44)=0}$

$\mathsf{(n-25)(n+44)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{n-25=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{n+44=0}\\\\ \mathsf{n=25}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{n=-44}\quad\textsf{(n\~ao serve)}\\\\ &\mathsf{n=25}&\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.} \end{array}$


Resposta:   alternativa c) 25 dias.