Question

Deduza as seguintes formulas cos x = cosh(i.x) e Sin x= -i.sinh(i.x)

Answer 1

Vamos, primeiro, escrever as fórmulas do seno e cosseno hiperbólicos:

$\cosh(x) =\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}; \ \mathrm{senh}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$

E não menos importante, vamos usar a identidade $e^{ix}=\cos(x)+i\mathrm{sen}(x)$.

$\cosh(ix)=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\Rightarrow \cosh(ix) = \dfrac{\cos(x)+i\mathrm{sen}(x)+ \cos(x)-i\mathrm{sen}(x)}{2}\\ \boxed{\cosh(ix)=\cos(x)}$

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$\mathrm{senh}(ix)=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}=\dfrac{\cos(x)+i\mathrm{sen}(x) - (\cos(x)-i\mathrm{sen}(x))}{2}\\ \mathrm{senh}(ix) = i\mathrm{sen}(x) \ (\mathrm{Multiplicando \ por} \ -i)\\ \boxed{\mathrm{sen}(x)=-i.\mathrm{senh}(x)}$