Question

Ache o Modulo de:

A) i^i

B) 1^i

C) (1-i) ^ (2-2.i)

D) (-1) ^ ( raiz quadrada de 2 )

Answer 1

Só agora percebi que é pra calcular o módulo dos complexos, não o seu valor xD Desculpa a demora na resolução dessa, mas eu me distraí totalmente

Vamos usar algumas identidades nessa questão:

$1- \ e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\mathrm{sen}(\theta)$

(a) Antes de me formar, eu tava pensando exatamente nessa expressão, $i^i$, e pensando no valor dela. Vamos usar a identidade 1 e as propriedades das potências pra ver o que encontramos:

$i^i = (e^{i\frac\pi2})^i=e^{-\frac\pi2}$

Como estamos interessado apenas no módulo do número, que é um número real positivo, temos que

$|i^i| = e^{-\frac\pi2}$

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(b) 1 elevado a qualquer número é 1, mas vamos ver esse caso particular. Primeiramente vamos ver com um número real qualquer, que chamaremos $a$

$a^i = (e^{\ln a})^i=e^{i\ln a} \ (\mathrm{De} \ 1)\\ \boxed{a^i = \cos(\ln a) + i\mathrm{sen}(\ln a)}$

Note, ainda, que $a^i$ é um número complexo "na forma algébrica": tem parte real, o cosseno do ln a, e parte imaginária, o seno do ln a, então podemos calcular seu módulo da forma usual:

$|a^i|=\sqrt{\cos^2(\ln a)+\mathrm{sen}^2(\ln a)}=\sqrt1\\ \boxed{|a^i| = 1}$

Agora que temos uma expressão genérica, que vale pra qualquer real, podemos fazer $a=1$ e concluir o que suspeitávamos

$\boxed{|1^i|=1}$

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(c) Vou pular algumas minúcias, como passar um número complexo na forma algébrica pra forma polar. Essas coisas você faz aí

$(1-i)^{2-2i} = ((\sqrt2.e^{-i\frac\pi4})^2)^{1-i}=(2.e^{-i\frac\pi2})^{1-i}\\ (2.e^{-i\frac\pi2})^{1-i} = (2.e^{-i\frac\pi2})^1.(2.e^{-i\frac\pi2})^{-i}=\dfrac{2.e^{-i\frac\pi2}.e^{-\frac\pi2}}{2^i}\\ \\ |(1-i)^{2-2i}|=\left| \dfrac{2.e^{-\frac\pi2}.e^{-i\frac\pi2}}{2^i} \right| = \dfrac{|2|.|e^{-\frac\pi2}|.|e^{-i\frac\pi2}|}{|2^i|}=\dfrac{2.e^{-\frac\pi2}.1}{1}\\ \\ \boxed{|(1-i)^{2-2i}|=2.e^{-\frac\pi2}}$

Isso tá meio louco, meio complicado pra entender? Se estiver, saiba que está certo. Até eu achei complicado. E sobre o que fiz na terceira linha de passos, de separar o módulo do produto no produto dos módulos, você pode fazer isso normalmente, ok? Não se preocupe em calcular toda a expressão, já que ele quer apenas o módulo dela.

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(d) Quando olhei pela primeira vez pra esse item pensei que ele tava meio estranho, mas depois pensei melhor... e vi que estava certo, mas pelo motivo errado. A primeira estranheza foi ver um número negativo elevado a um irracional. Isso não é bem definido no ensino médio, mas nos números complexos isso faz sentido. Só não deixa de ser estranho :P

$(-1)^{\sqrt2} =(e^{i\pi})^{\sqrt2}=e^{i.\sqrt2\pi}\\ (-1)^{\sqrt2}= \cos (\sqrt2.\pi) + i\mathrm{sen} ( \sqrt2.\pi)$

Esse resultado estranho é o valor da potência, mas ele não quer saber seu valor, e sim o módulo. Oras, podemos proceder como no item (b), donde encontramos que

$\boxed{(-1)^{\sqrt2} = 1}$

Edição: corrigi o valor de -1. Na verdade, $-1=e^{i\pi}$. O que tava escrito antes, $e^{i\frac\pi2}$, vale i. Felizmente isso não alterou o resultado final, o módulo, que ainda continua sendo 1.