Question

Seja C a circunferência de equação x2 + y2 + 2x + 4y + 2=0. Considere em C a corda MN cujo ponto médio é P(-1, -1). O comprimento de MN (em unidade de comprimento) é igual a

Answer 1

Cálculo das coordenadas do centro C(a, b)

-2a = 2 => a = -1
-2b = 4 => b = - 2
C(-1, -2)
Cálculo do raio
r² = a² + b² - c
r² = (-1)¹ + (-2)² - 2
r² 1 + 4 - 2
r² = 3
r = √3

Sendo P(-1, -1) o ponto médio da corda, perceba a distância de P até C é 1
(cateto), De P a M = de P a N m que vamos chamar de x (cateto) e r a hipotenusa.
Logo: x² + 1² = r² => x² + 1 = 3 => x² = 2 => x = √2

MN = 2x = 2√2

Answer 2

Resposta:

MN=2*2^0.5

Explicação passo-a-passo:

. Resolução com Gráfico em   Distância MN ao centro e comprimento de MN

x^2+y^2+2x+4y+2=0 =>Pm=(-1,-1)=>Vemos que a corda é segmento da reta y=-1, M=(+/-xm, -1)  que intercepta em dois pontos a elipse x^2+y^2+2x+4y+2=0, assim x^2+(-1)^2+2x+4(-1)+2=0

-1+2^0.5 e -1-2^0.5=> M=(-1+2^05, -1) N=(-1-2^05, -1)  

MN=xm-xn=>-1+2^05-(-1-2^05)=> MN=2*2^0.5

Para se determinar a distância de MN para Pm, segue:

x^2+y^2+2x+4y+2=0  

x^2+2x=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=2x=>a=1=>(x+1)^2=>x^2+2x+1

y^2+4y=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=4y=>b=2=>(y+2)^2=>y^2+4y+4

(x+1)^2+(y+2)^2=+1+4-2=>(x+1)^2+(y+2)^2=+3, Vemos que C=-(+1,+2), C=(-1,-2)

Distância=D^2=(xc-xp)+(yc-yp)=>d^2=(-1-(-1))^2+(-2-(-1))^2=>d^2=1^2=>d=1

Detalhes acesse https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_62.html