Question

Das opões abaixo, qual representa a relação correta:
Escolha uma:
a. $(19 ^{2} + 40 ^{2} ) / 131 ^{2} = 59 / 131$
b. $11 ^{2} . 36 ^{2} = 396 ^{2}$
c. $(-2) ^{3} = 2 ^{-3}$
d. $(-6 ^{8} ) ^{3} = (-6) ^{24}$
e. $2 ^{3} + 2 ^{4} = 2 ^{7}$

Answer 1

Vou começar de baixo pra cima:

e) 2³ + 2^4 = 8 + 16 = 24 (diferente de 2^7)

d) (-6^8) ³ = (-6) ^ 24 (correto! Devemos repetir a base e multiplicar os expoentes, segundo propriedade de potenciação)

c) Impossível essa relação ser verdadeira

Answer 2

Antes de começarmos a analisar as alternativas, vamos nos lembrar de algumas propriedades das potências (a, b, c são números quaisquer):

$1- a^c.b^c = (a.b)^c\\ 2- a^{-b}=\dfrac{1}{a^b}\\ 3- (a^b)^c=a^{b.c}$

Além disso, uma observação: nem sempre $-a^b$ é igual a $(-a)^b$. Os parênteses aqui fazem toda diferença;

Dito isso, vamos analisar cada uma das alternativas:

(a) FALSO
$\dfrac{19^2+40^2}{131^2}=\dfrac{361+1600}{131^2}=\dfrac{1961}{131^2}$

Por incrível que pareça, não dá pra simplificar aquela fração, e ela nem de longe se parece com 59/131 :P

(b) VERDADEIRO
$11^2.36^2 = (11.36)^2 = 396^2$

Aqui usei apenas a propriedade 1 que escrevi no início.

(c) FALSO
$(-2)^3=(-2).(-2).(-2) = -8\\ 2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac18$

Aqui usamos a propriedade 2 e a definição de potência. Calculando as expressões nos dois membros dá pra se ver facilmente que uma é diferente da outra.

(d) FALSO
Esse item aqui é pegadinha. Note que é escrito $-6^8$, não $(-6)^8$, o que faz toda a diferença. O resultado do primeiro caso é $6^8$ com sinal de menos na frente (você primeiro faz a potência e só depois leva em consideração o sinal), já o resultado do segundo é $6^8$ mesmo, sem sinal algum ($(-6)^8=((-1).6)^8 = (-1)^8.6^8 = 6^8$).

Vamos, agora, analisar o item. Como $6^8$ é um número muito grande, vamos chamá-lo de $x$, pra facilitar as coisas. Daí temos:

$(-x)^3 = ((-1).x)^3 = (-1)^3.x^3 = (-1).(6^8)^3 = -6^{24}\\ (-6)^{24}=((-1).6)^{24} = (-1)^{24}.6^{24} = 6^{24}$

Aqui usamos as propriedades 1 e 3. Note que a diferença entre os dois membros foi só o sinal de menos, causado pela falta de parênteses.

(e) FALSO
$2^3+2^4 = 2^3+2.2^3=2^3(1+2)=3.2^3$

Aqui usamos a definição de potência e também pusemos $2^3$ em evidência. Calculando o primeiro membro encontramos 24, que é diferente de 128, o resultado do segundo membro.

R: (b)