Question

Determine os logaritmos dos numerous seguintes:

A) e;

B) -i;

C) i^i;

D) 1-i

Answer 1

Caso tenha problemas para visualizar pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador:   https://brainly.com.br/tarefa/8122163

_______________


Dado um número complexo $\mathsf{z},$ sabemos que

$\mathsf{z=Re(z)+i\cdot Im(z)}$


sendo  $\mathsf{Re(z)}$  e  $\mathsf{Im(z)}$  respectivamente as partes real e imaginária de $\mathsf{z.}$


Podemos expressar $\mathsf{z}$ na forma polar (ou trigonométrica):

$\mathsf{z=|z|\cdot e^{i\cdot \theta}=|z|\cdot (cos\,\theta + i\cdot sen\,\theta)}$


sendo  $\mathsf{|z|}$  o módulo de $\mathsf{z},$  dado por

$\mathsf{|z|=\sqrt{Re^2(z)+Im^2(z)}}$


e  $\mathsf{\theta=Arg(z)}$  o argumento de $\mathsf{z}.$  Este ângulo $\theta$ é tal que

$\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{cos\,\theta=\dfrac{Re(z)}{|z|}=\dfrac{Re(z)}{\sqrt{Re^2(z)+Im^2(z)}}}\\\\\\ \mathsf{sen\,\theta=\dfrac{Im(z)}{|z|}=\dfrac{Im(z)}{\sqrt{Re^2(z)+Im^2(z)}}} \end{array} \right.\qquad\qquad\mathsf{-\pi\ \textless \ \theta\le \pi}$


Nessas condições, o logaritmo de $\mathsf{z}$ é dado por

$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\ell n(z)=\ell n|z| + i\cdot \theta}\end{array}}$

__________


A)  $\mathsf{z=e}$

Aqui temos um número real. Como $\mathsf{z=e}$ é positivo, o argumento é igual a zero (se fosse negativo, o argumento seria $\mathsf{\pi}$).


O valor do logaritmo é o mesmo obtido enquanto trabalhamos com reais:

$\mathsf{\ell n(e)=\ell n|e| + i\cdot 0}\\\\ \mathsf{\ell n(e)=1 + 0i}\\\\ \mathsf{\ell n(e)=1\qquad\quad\checkmark}$

________


B)  $\mathsf{z=-i}$

$\mathsf{z=0-1i}$


Calculando o módulo e o argumento:

$\mathsf{|z|=\sqrt{0^2+(-1)^2}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{0+1}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{1}}\\\\ \mathsf{|z|=1}$


$\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{cos\,\theta=\dfrac{0}{1}=0}\\\\\\ \mathsf{sen\,\theta=\dfrac{-1}{1}=-1} \end{array} \right.\qquad\Rightarrow\qquad\mathsf{\theta=-\dfrac{\pi}{2}}$


Portanto,

$\mathsf{\ell n(-i)=\ell n(1)+i\cdot \left(-\dfrac{\pi}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{\ell n(-i)=0-i\cdot \dfrac{\pi}{2}}\\\\\\ \mathsf{\ell n(-i)=-\dfrac{\pi}{2}\,i}\\\\\\ \mathsf{\ell n(-i)\approx -1,\!571\,i\qquad\quad\checkmark}$

________


C)  $\mathsf{z=i^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{i}\end{array}}}$

$\mathsf{z=(1+0i)^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{i}\end{array}}}\\\\ \mathsf{z=\left(cos\,\dfrac{\pi}{2}+i\cdot sen\,\dfrac{\pi}{2}\right)^{\hspace{-6}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{i}\end{array}}}\\\\\\ \mathsf{z=\left(e^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{i\cdot \frac{\pi}{2}}\end{array}\hspace{-5}}\right)^{\hspace{-6}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{i}\end{array}}}$

$\mathsf{z=e^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{i^2\cdot \frac{\pi}{2}}\end{array}\hspace{-5}}}\\\\ \mathsf{z=e^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{(-1)\cdot \frac{\pi}{2}}\end{array}\hspace{-5}}}\\\\ \mathsf{z=e^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{-\frac{\pi}{2}}\end{array}\hspace{-5}}\in\mathbb{R}}$


Aqui temos um número real. Como $\mathsf{z=e^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{-\frac{\pi}{2}}\end{array}\hspace{-5}}}$ é positivo, o argumento é igual a zero.


Portanto,

$\mathsf{\ell n\big(i^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{i}\end{array}\hspace{-5}}\big)=\ell n\big(e^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{-\frac{\pi}{2}}\end{array}\hspace{-5}}\big)}\\\\\\ \mathsf{\ell n\big(i^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{i}\end{array}\hspace{-5}}\big)=-\dfrac{\pi}{2}\cdot \ell n(e)}\\\\\\ \mathsf{\ell n\big(i^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{i}\end{array}\hspace{-5}}\big)=-\dfrac{\pi}{2}\cdot 1}$

$\mathsf{\ell n\big(i^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{i}\end{array}\hspace{-5}}\big)=-\dfrac{\pi}{2}}\\\\\\ \mathsf{\ell n\big(i^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{i}\end{array}\hspace{-5}}\big)\approx -1,\!571}\qquad\quad\checkmark}$

________


D)  $\mathsf{z=1-i}$

Calculando o módulo e o argumento:

$\mathsf{|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{1+1}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{2}}}$


$\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{cos\,\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{sen\,\theta=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}} \end{array} \right.\qquad\Rightarrow\qquad\mathsf{\theta=-\dfrac{\pi}{4}}$


Portanto,

$\mathsf{\ell n(1-i)=\ell n\big(\sqrt{2}\big)+i\cdot \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)}\\\\\\ \mathsf{\ell n(1-i)=\ell n\big(2^{\hspace{-4}\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{\frac{1}{2}}\end{array}\hspace{-5}}\big)-i\cdot \dfrac{\pi}{4}}\\\\\\ \mathsf{\ell n(1-i)=\dfrac{1}{2}\cdot\ell n(2)-i\cdot \dfrac{\pi}{4}}\\\\\\ \mathsf{\ell n(1-i)\approx 0,\!347-0,\!785\,i\qquad\quad\checkmark}$


Bons estudos!:-)


Tags:  logaritmo real imaginária módulo argumento ângulo número complexo