Question

Considerando-se que o polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c tem 1 como raiz dupla e 3 como raiz simples, é correto afirmar que o resto da divisão de P(x) por (x + 1) é
01) − 20
02) − 18
03) − 16
04) − 14
05) − 2

Answer 1

Boa tarde AnnaRita

P(x) = x³ + ax² + bx + c 

(x - 1)² = x² - 2x + 1
(x² - 2x + 1)*(x - 3) = x³ - 2x² + x - 3x² + 6x - 3 = x³ - 5x² + 7x - 3

P(x) = (x - 1)²*(x - 3) = x³ - 5x² + 7x - 3

x + 1 = 0
x = -1

o resto é igual a P(-1) 

P(x) = x³ - 5x² + 7x - 3
P(-1) = -1 - 5 - 7 - 3 = -16 (alt 03) 

Answer 2

Vamos lá.

Veja, AnnaRita, que a resolução é simples.
Tem-se: um polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c tem "1" como raiz dupla e "3" como raiz simples.
Pede-se o resto da divisão de P(x) por D(x) =  (x+1).

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se o polinômio dado tem "1" como raiz dupla, isto significa que P(x) tem duas raízes reais e iguais a "1" e se tem "3" como raiz simples, isto significa que P(x) tem também uma raiz real igual a "3".
E, como você já deve saber, toda equação da forma p(x) = ax³ + bx² + cx + d, com raízes iguais a x', x'' e x''', a sua forma simplificada em função de suas raízes é esta:

ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''').

Note que o polinômio da sua questão é este: P(x) = x³ + ax² + bx + c. Você já poderá ver, logo de cara, que o coeficiente de x³ é "1", pois não tem nada antes dele. E quando não se tem nada antes de uma incógnita isto significa que o seu coeficiente é "1". Então vamos simplificar o polinômio dado em função de suas raízes, que são: x' = 1; x'' = 1; e x''' = 3 (lembre-se que P(x) tem duas raízes reais e iguais a "1"). Assim, simplificando-o na forma que acabamos de ver acima, teremos:

x³ + ax² + bx + c = 1*(x-1)*(x-1)*(x-3) ----- desenvolvendo, teremos:
x³ + ax² + bx + c = (x-1)*(x-1)*(x-3) --- efetuando este produto, teremos:
x³ + ax² + bx + c = (x²-2x+1)*(x-3) --- continuando o desenvolvimento:
x³ + ax² + bx + c = x³-2x²+x - 3x²+6x-3 --- reduzindo os termos semelhantes:
x³ + ax² + bx + c = x³ - 5x² + 7x - 3 <--- Este é o polinômio P(x).

Note que, pela igualdade acima, já sabemos que o termo "a" é igual a "-5", o termo "b" é igual a "7" e o termo "c" é igual a "-3"

ii) Agora vamos dividir o polinômio encontrado, que é: P(x) = x³ - 5x² + 7x - 3 por D(x) = x + 1.

Agora note uma coisa importante e não esqueça mais: se vamos dividir o polinômio P(x) por D(x) = x + 1, então iremos igualar D(x) a zero para sabermos qual é a sua raiz. Então:

x + 1 = 0
x = - 1 <--- Esta é a raiz de D(x).

Agora veja novamente isto e não esqueça mais: pelo teorema do resto, a divisão de um polinômio por "x-a" terá resto igual a P(a), pois a raiz de x-a = 0 ---> x = a. E se vamos dividi-lo por "x+a", então ele terá resto igual a P(-a), pois a raiz de x+a = 0 ---> x = - a. No caso, como vamos dividi-lo por "x+1", então o polinômio terá resto será igual a P(-1), pois como você viu antes, a raiz de x+1 é (-1). Lembre-se: x+1 = 0 ---> x = - 1,que é a raiz de D(x) que vimos antes, lembra?.
Então vamos ver. O polinômio que encontramos é este:

P(x) = x³ - 5x² + 7x - 3 ---- substituindo-se "x' por "-1", teremos:
P(-1) = (-1)³ - 5*(-1)² + 7*(-1) - 3
P(-1) = - 1 - 5*1 - 7 - 3
P(-1) = - 1 - 5 - 7 - 3 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
P(-1) = - 16 <--- Pronto. Esta é a resposta. Opção "03". Este é o resto da divisão do polinômio que encontramos por (x+1).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.