Question

resolva a inequacao 5|x-1| elevado ao quadrado +8|x-1| -4 <=0

Answer 1

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Resolver a inequação modular quadrática:

$\mathsf{5|x-1|^2+8|x-1|-4\le 0\qquad\quad(i)}$


Faça a seguinte mudança de variável:

$\mathsf{|x-1|=t\qquad\quad(t\ge 0)}$


e a inequação fica

$\mathsf{5t^2+8t-4\le 0}\\\\ \mathsf{5t^2+10t-2t-4\le 0}\\\\ \mathsf{5t(t+2)-2(t+2)\le 0}\\\\ \mathsf{(t+2)(5t-2)\le 0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(inequa\c{c}\~ao-produto)\qquad(ii)}$


Encontrando as raízes do lado esquerdo de $\mathsf{(ii):}$

$\mathsf{t+2=0}\\\\ \mathsf{t=-2\qquad\quad\checkmark}$


$\mathsf{5t-2=0}\\\\ \mathsf{5t=2}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{2}{5}\qquad\quad\checkmark}$


As raízes são $\mathsf{t_1=-2~~e~~t_2=\dfrac{2}{5}.}$


Montando o quadro de sinais para $\mathsf{t\ge 0:}$

$\large\begin{array}{rc} \mathsf{t+2}&\qquad\mathsf{\underset{0}{\bullet}\overset{+++++++}{\textsf{||||}}\!\!\underset{\frac{2}{5}}{\bullet}\!\!\overset{+++~~~}{\textsf{|||}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}}\\\\ \mathsf{5t-2}&\qquad\mathsf{\underset{0}{\bullet}\overset{-------}{\textsf{||||}}\!\!\underset{\frac{2}{5}}{\bullet}\!\!\overset{+++~~~}{\textsf{|||}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}}\\\\\\ \mathsf{(t+2)(5t-2)}&\qquad\mathsf{\underset{0}{\bullet}\overset{-------}{\textsf{||||}}\!\!\underset{\frac{2}{5}}{\bullet}\!\!\overset{+++~~~}{\textsf{|||}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}}\\\\\\ \end{array}$


Como queremos que o lado esquerdo de $\mathsf{(ii)}$ seja menor ou igual que zero, o intervalo de interesse é

$\mathsf{0\le t\le\dfrac{2}{5}}$


Voltando à variável $\mathsf{x,}$ queremos resolver então

$\mathsf{0\le |x-1|\le\dfrac{2}{5}}\\\\\\ \mathsf{|x-1|\le\dfrac{2}{5}}\\\\\\ \mathsf{-\,\dfrac{2}{5}\le x-1\le\dfrac{2}{5}}\\\\\\ \mathsf{-\,\dfrac{2}{5}+1\le x-1+1\le\dfrac{2}{5}+1}$

$\mathsf{\dfrac{3}{5}\le x\le\dfrac{7}{5}\qquad\quad\checkmark}$


Conjunto solução:    $\mathsf{S=\left\{x\in \mathbb{R}:~\frac{3}{5}\le x\le\frac{7}{5}\right\}}$


ou usando a notação de intervalos,

$\mathsf{S=\left[\frac{3}{5},\,\frac{7}{5}\right].}$


Bons estudos! :-)


Tags:   inequação modular segundo grau quadrática completamento de quadrados estudo de sinal função desigualdade solução resolver álgebra