Question

No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1,-2), B(m,4), C(0,6) é retângulo em A. O valor de m é igual a:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anacecilia, que a resolução é simples.
Pede-se o valor de "m", sabendo=se que os vértices A(1; -2), B(m; 4) e C(0; 6) é de um triângulo retângulo em A.

Agora veja: se o triângulo é retângulo em A, então o segmento BC será a hipotenusa, enquanto os segmentos AB e AC serão os catetos.
Vamos fazer o seguinte: aplicaremos Pitágoras (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos).
Note que, para isso, basta que encontremos as distâncias (d) de cada ponto. Então teremos isto:

i) Distância (d) de B(m; 4) a C(0; 6):

d² = (0-m)² + (6-4)²
d² = (-m)² + (2)²
d² = m² + 4       <---- Esta é a hipotenusa BC ao quadrado.

ii) Distância (d) de A(1; -2) a B(m; 4)

d² = (m-1)² + (4-(-2))²
d² = (m-1)² + (4+2)³
d² = (m-1)² + (6)²
d² = m²-2m+1 + 36 ---- reduzindo os termos semelhantes:
d² = m² - 2m + 37 <--- Este é o cateto AB ao quadrado.

iii) Distância (d) de A(1; -2) a C(0; 6)

d² = (0-1)² + (6-(-2))²
d² = (-1)² + (6+2)²
d² = (-1)² + (8)²
d² = 1 + 64
d² = 65 <--- Este é o cateto AC ao quadrado.

iv) Agora vamos tomar a hipotenusa ao quadrado e vamos igualar à soma dos quadrados dos catetos [(BC)² = (AB)² + (AC)²]. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

(m² + 4) = (m² - 2m + 37) + 65 ---- retirando-se os parênteses, teremos:
m² + 4 = m² - 2m + 37 + 65 ---- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, teremos:
 ----
m² + 4 = m² - 2m + 102 ----- passando-se tudo o que tem "m" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, teremos isto:

m² - m² + 2m = 102 - 4 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos:

2m = 98
m = 98/2
 
m = 49 <--- Esta é a resposta. Este deverá ser o valor de "m" para que o triângulo da sua questão seja retângulo em A. 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.