Question

A forma algébrica do número complexo z1 é z1= √3+i. O argumento do número complexo z2 é o dobro do argumento de z1. Então z2=z1^2. Por que essa afirmação é verdadeira?

Answer 1

Essa afirmação apenas é verdadeira no caso em que |z₁|² = |z₂|. 

Vejamos primeiro o caso geral: 
Seja w um número complexo qualquer tal que w = rℯⁱᶿ. Temos que w² = w × w = rℯⁱᶿ × rℯⁱᶿ = r²ℯⁱᶿ⁺ⁱᶿ = r²ℯⁱ⁽²ᶿ⁾, o que prova que arg(w²) = 2arg(w), ou seja, se w₂ = w₁², então arg(w₂) = 2arg(w₁). No entanto, o inverso não é verdade. Por exemplo, se w₁ = ℯⁱᶿ e w₂ = 10ℯ²ⁱᶿ, temos que arg(w₂) = 2arg(w₁) = 2θ, mas w₂ ≠ w₁² = ℯ²ⁱᶿ. 

Neste caso, tem-se: 
z₁ = √(3) + i 

arg(z₁) = arctan(1/√(3)) = arctan(√(3)/3) = π/6 

|z₁| = √(3 + 1) = √(4) = 2 

Logo, z₁ = 2ℯ^(πi/6) 

Assim, z₂ = 2²ℯ^(2 ⋅ πI/6) = 4ℯ(π/3), tendo-se a relação arg(z₂) = 2arg(z₁) = π/3