Question

Se A (x)=x+x+ax+b e B(x)=x2+2bx-a sao ambos divisíveis por x -2, calcule o produto de a.b

Answer 1

Como os dois polinômios são divisíveis por (x-2), temos que x=2 é raíz de A(x) e B(x), isto é, A(2)=0 e B(2)=0. Assim:

$A(x)=x+x+ax+b=2x+ax+b\\\\ A(x)=(2+a)x+b\\\\ A(2)=(2+a)\cdot2+b\to\text{Como A(2)=0:}\\\\ 0=(2+a)\cdot2+b\\\\ 4+2a+b=0\\\\ b=-2a-4~~(i)\\\\\\ B(x)=x^2+2bx-a\\\\ B(2)=2^2+2b\cdot2-a\\\\ B(2)=4+4b-a\to\text{Como B(2)=0:}\\\\ 0=4+4b-a\\\\ a-4b-4=0~~(ii)$

Substituindo a expressão de b vista em (i) na equação (ii):

$a-4b-4=0\\\\ a-4(-2a-4)-4=0\\\\ a+8a+16-4=0\\\\ 9a+12=0\\\\ 3a+4=0\\\\ \boxed{a=-\dfrac{4}{3}}$

Substituindo o valor de a encontrado acima na expressão (i):

$b=-2a-4\\\\ b=-2\cdot\dfrac{-4}{3}-4\\\\ b=\dfrac{8}{3}-4\\\\ b=\dfrac{8}{3}-\dfrac{12}{3}\\\\ \boxed{b=-\dfrac{4}{3}}$

Calculando o produto pedido: $a\cdot b=\left(-\dfrac{4}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)\\\\ \boxed{\boxed{a\cdot b=\dfrac{16}{9}}}$

Por isso que questionamos se o enunciado estava correto, veja que a resposta não é das mais agradáveis.

Enfim, caso perceba que há algum erro no enunciado, comente e eu editarei.

Answer 2

Vamos lá.

Bem, como você confirmou que a escrita é exatamente como está colocado, então vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Tem-se que:

A(x) = x + x + ax + b ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
A(x) = 2x + ax + b  ---- colocando-se "x" em evidência, teremos:
A(x) = (2+a)x + b     . (I)

e

B(x) = x² + 2bx - a      . (II)

O enunciado informa que as expressões acima são, ambas, divisíveis por D(x) = x - 2. E, assim, pede-se o produto de "a*b".

i) Como as expressões (I) e (II) acima são, ambas, divisíveis por D(x) = x-2 , então elas são divisíveis pela raiz de D(x) = x - 2 ---- Para calcular a raiz de "x-2", basta que façamos D(x) = 0. Assim:

x - 2 = 0
x = 2

ii) Agora note: se tanto A(x) como B(x) são divisíveis por "2", então é porque "2" é raiz de A(x) e de B(x). Sendo assim, poderemos aplicar o teorema do resto, que consiste em substituir o "x" de A(x) e de B(x) pela raiz de D(x), sabendo-se que, ao fazermos isso, tanto A(x) como B(x) vão zerar, pois, como você deve saber, toda raiz zera a equação da qual ela é raiz.
Então vamos fazer isso.

ii.1) Substituindo o "x" por "2" na expressão (I), que é esta:

A(x) = (2+a)x + b ----- substituindo "x' por "2", teremos:
A(2) = (2+a)*2 + b ---- mas note que A(2) será igual a "0" porque "2' é raiz. Logo:
0 = (2+a)*2 + b --- ou, invertendo-se:
(2+a)*2 + b = 0 --- efetuando o produto indicado, teremos;
2*2 + 2*a + b = 0
4 + 2a + b = 0 ----- vamos isolar "b", ficando:
b = - 2a - 4      . (III)

ii.2) Substituindo o "x" por "2" na expressão (II), que é esta:

B(x) = x² + 2bx - a ---- substituindo-se "x" por "2", teremos:
B(2) = 2² + 2b*2 - a
B(2) = 4 + 4b - a ----- mas, a exemplo do que vimos para A(2), teremos que B(2) = 0, pois "2" é raiz. Então:

0 = 4 + 4b - a ----- vamos apenas inverter, ficando:
4 + 4b - a = 0     . (IV)

Mas já vimos que, conforme a expressão (III), temos que b = - 2a-4. Então vamos substituir "b" por esse valor na expressão (IV) acima.
Vamos apenas repetir a expressão (IV), que é esta:

4 + 4b - a = 0 ---- substituindo-se "b" por "-2a-4", teremos;
4 + 4*(-2a-4) - a = 0
4 - 8a - 16 - a = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
- 9a - 12 = 0 ----- passando "-12" para o 2º membro, teremos:
- 9a = 12 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos:
9a = - 12
a = -12/9 ---- dividindo-se numerador e denominador por "3", teremos:
a = - 4/3  <--- Este é o valor de "a".

Agora, para encontrar o valor de "b", vamos na expressão (III), que é esta:

b = - 2a - 4 ---- substituindo-se "a" por "-4/3, teremos:
b = -2*(-4/3) - 4
b = 8/3 - 4 ------ mmc = 3. Assim, utilizando-o, teremos:
b = (1*8 - 3*4)/3
b = (8-12)/3
b = (-4)/3 ----- ou apenas:
b = - 4/3 <--- Este é o valor de "b".

ii.3) Assim, o produto a*b será, já que encontramos que tanto "a" como "b" têm o mesmo valor e são iguais, ambos, a "-4/3". Assim, o produto "a*b" será dado por:

a*b = (-4/3)*(-4/3)
 
a*b = 16/9 <--- Esta será a resposta se a sua questão estiver escrita como consideramos, que é a forma que você informou no enunciado.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.