Question

para que identifique em x x3+2x2-x-2=(x+1)3+L (x+1)2+M (x+1)+N seja verificada é necessário que L, M e N valham, respectivamente

Answer 1

Queremos ter:

$x^3+2x^2-x-2=\underbrace{(x+1)^3+L(x+1)^2+M(x+1)+N}_{E}$

Desenvolvendo a expressão E do lado direito:

$E=(x+1)^3+L(x+1)^2+M(x+1)+N\\\\ E=(x^3+3x^2+3x+1)+L(x^2+2x+1)+Mx+M+N\\\\ E=x^3+(3+L)x^2+(3+2L+M)x+(1+L+M+N)$

Então, queremos:

$x^3+\underbrace{2}_{a_2}x^2\underbrace{-1}_{a_1}x\underbrace{-2}_{a_0}=x^3+\underbrace{(3+L)}_{b_2}x^2+\underbrace{(3+2L+M)}_{b_1}x+\underbrace{(1+L+M+N)}_{b_0}$

Para que a igualdade dos polinômios ocorra, é necessário que os coeficientes de cada termo de mesmo grau sejam iguais, isto é: $a_2=b_2,~a_1=b_1,~a_0=b_0$. Logo:

$a_2=b_2\\\\ 2=3+L\\\\ \boxed{L=-1}\\\\\\ a_1=b_1\\\\ -1=3+2L+M\\\\ -4=2\cdot(-1)+M\\\\ M-2=-4\\\\ \boxed{M=-2}\\\\\\ a_0=b_0\\\\ -2=1+L+M+N\\\\ -3=(-1)+(-2)+N\\\\ N-3=-3\\\\ \boxed{N=0}$

Portanto:
L=-1
M=-2
N=0