Question

(UNIMONTES MG/2015) A região do plano cartesiano, delimitada pelas retas de equações y=x, y=3x e y=-x+4, tem área:

a) 2
b) 4
c) 8
d) 1

Não sei se estou equivocado, mas fiz um sistema, com isso, achei o ponto de intersecção das retas e então calculei a área. O resultado final foi 4.

Minha resposta está errada? Se sim, qual o erro?

Answer 1

Boa tarde!

Solução!

Você estava pensando certo,porem tem que achar as coordenadas de todas as intersecções,apos isso usar a formula da distância para calcular os catetos do do triângulo.

Vou chamar as retas de r ,s e t.
$r:y=x\\\\ t:y=3x\\\\ s:y=-x+4$

$r \cap s\\\ r \cap t\\\ s\cap t$

Fazendo as intersecções!

$r \cap s:\begin{cases} y=x\\ y=3x \end{cases}\\\\\ 3x=x\\\\\ 3x-x=0\\\\\ 2x=0\\\\\ x= \frac{0}{2}\\\\\ x=0\\\\ Substituindo!\\\ y=x\\\ y=0\\\\ A(0,0)$


$r \cap t:\begin{cases} y=x\\ y=-x+4 \end{cases}\\\\\ x=-x+4\\\\ x+x=4\\\\ 2x=4\\\\ x= \frac{4}{2}\\\\ x=2\\\\\\ y=x\\\\ y=2\\\\ B(2,2)$


$s\cap t:\begin{cases} y=3x\\ y=-x+4 \end{cases}\\\\\\\\ 3x=-x+4\\\\ 3x+x=4\\\\\ 4x=4\\\\\ x= \frac{4}{4}\\\\\ x=1\\\\\\ y=3x\\\\ y=3.(1)\\\\\ y=3\\\\\ C(1,3)$

Vamos agora aplicar a formula da distância!

$\boxed{\boxed{d= \sqrt{(xA-xB)^{2}+(yA-yB)^{2} }}}$

$Coordenadas!\\\\ A(0,0)\\\\ B(2,2)\\\\\ C(1,3)\\\\\ d(A,B)= \sqrt{(0-2)^{2}+ (0-2)^{2}} \\\\\\ d(A,B)= \sqrt{(-2)^{2}+ (-2)^{2}} \\\\\\ d(A,B)= \sqrt{4+ 4} \\\\\\ d(A,B)= \sqrt{8} \\\\\\ \boxed{d(A,B)= 2\sqrt{2}~~Cateto~~adjacente}$


$d(B,C)= \sqrt{(2-1)^{2}+ (2-3)^{2}} \\\\\\ d(B,C)= \sqrt{(1)^{2}+ (-1)^{2}} \\\\\\ \boxed{d(B,C)= \sqrt{2}~~Cateto~~oposto}$

Formula para calcular a área de um triângulo.

$A_{Tri\~angulo}= \dfrac{Base \times Altura}{2} \\\\\\ A_{Tri\~angulo}= \dfrac{2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} }{2} \\\\\\ A_{Tri\~angulo}= \sqrt{2} \times \sqrt{2}\\\\\\\ A_{Tri\~angulo}= \sqrt{4}\\\\\\ A_{Tri\~angulo}=2$


$\boxed{Resp~~2~~\boxed{Alternativa~~A}}}$

Vou colocar um gráfico do problema.


Boa tarde!
Bons estudos!