Question

Pode-se afirmar corretamente que a equação log2 (1+ x^4 + x²) + log2 (1 + 2x²) = 0
A) Não admite raízes reais
B) Admite exatamente uma raiz real
C) Admite exatamente duas raízes reais, as quais são iguais
D) Admite exatamente quatro raízes reais

Answer 1

Propriedades:

$\bullet\,\,\log_{b}x+\log_{b}y=\log_{b}(x\cdot y)\\\\\bullet\,\,\log_{b}x=\log_{b}y~~\Longleftrightarrow~~x=y~~\mathsf{para~x,y,b~\textgreater~0~e~b\neq1}$
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$\log_{2}(1+x^{4}+x^{2})+\log_{2}(1+2x^{2})=0$

Usando a primeira propriedade apresentada:

$\log_{2}\big[(1+x^{4}+x^{2})\cdot(1+2x^{2})\big]=0\\\\\log_{2}\big[(1+x^{4}+x^{2})(1+2x^{2})\big]=\log_{2}1$

Se $x$ é real, então

$x^{2}\ge0~\mathsf{e}~x^{4}\ge0~~\Longrightarrow~x^{4}+x^{2}\ge0~~\Longrightarrow~~1+x^{4}+x^{2}\ge1~\textgreater~0$

Analogamente, $x^{2}\ge0~~\Longrightarrow~~2x^{2}\ge0~~\Longrightarrow~~1+2x^{2}\ge1~\textgreater~0$

Portanto, podemos aplicar a propriedade dois, obtendo

$(1+x^{4}+x^{2})(1+2x^{2})=1$

Aplicando a distributiva:

$1+2x^{2}+x^{4}+2x^{6}+x^{2}+2x^{4}=1~~\Longleftrightarrow~~\\\\2x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1=1~~\Longleftrightarrow~~\\\\2x^{6}+3x^{4}+3x^{2}=0$

Colocando $x^{2}$ em evidência, temos

$x^{2}\cdot(2x^{4}+3x^{2}+3)=0$

que nos leva aos casos:

$\bullet\,\,x^{2}=0~~\Longrightarrow~~x=\pm\sqrt{0}=0~~~~~\mathsf{(representa~duas~ra\'izes~da~equa\c{c}\~ao)}$

$\bullet\,\,2x^{4}+3x^{2}+3=0$

essa equação biquadrada nos retornará as outras quatro raízes da equação do sexto grau obtida

fazendo $y\to x^{2}$, podemos resolver a equação do segundo grau

$2y^{2}+3y+3=0$

que possui discriminante dado por

$\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot2\cdot3=9-24=-15~\textless~0$

Como $\Delta$ é negativo, a equação $2y^{2}+3y+3=0$ possui duas raízes complexas, logo serão da forma

$y_{1}=a_{1}+b_{1}i~~\mathsf{com~b_{1}\neq0}\\y_{2}=a_{2}+b_{2}i~~\mathsf{com~b_{2}\neq0}$

(mais precisamente, $y_{2}=a_{1}-b_{1}i$, que é o conjugado de $y_{1}$)

Portanto, para cada valor de y, temos

$y_{1}=a_{1}+b_{1}i\\\\x^{2}=a_{1}+b_{1}i\\\\x=\pm\sqrt{a_{1}+b_{1}i}~~~\mathsf{(representa~duas~ra\'izes~complexas~da~equa\c{c}\~ao)}$

e

$y_{2}=a_{1}-b_{1}i\\\\x^{2}=a_{1}-b_{1}i\\\\x=\pm\sqrt{a_{1}-b_{1}i}~~\mathsf{(representa~as~\'ultimas~duas~ra\'izes~da~equa\c{c}\~ao)}$

Portanto, como podemos ver, a equação possui duas raízes reais (iguais a zero) e quatro raízes complexas, logo a resposta é a letra C