determine as derivadas parciais z=arct (x/y)

Respostas

respondido por: Ronny06

Temos que Arctg(U)= U(x)'/1+U(x)^2 logo temos que U(x)=x/y, logo temos que parcialmente:

Zx'= 1/y : 1+ x^2/y^2

Zy'= -x/y^2 : 1+x^2/y^2 Lembrando que f(x)/g(x) derivada= f(x)'.g(x)-f(x).g(x)' / g(x)^2 .

Zxy=Zyx= $\frac{ (\frac{1}{y^{2}}).(1+\frac{x^{2}}{y^{2}})-(\frac{1}{y}.2xy^{2})}{(1+\frac{x^{2}}{y^{2}})^{2}}}$

respondido por: solkarped

✅Após resolver os cálculos, concluímos que as derivadas parciais em termos de "x" e "y" da referida função trigonométrica são, respectivamente:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{x}(x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{y}(x, y) = -\frac{x}{x^{2} + y^{2}}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a função trigonométrica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = \arctan\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\end{gathered}$}$

Podemos reescreve-la como:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x, y) = \arctan\bigg(\frac{x}{y}\bigg),\:\:\:\textrm{com}\:y \neq 0\end{gathered}$}$

Para resolver esta questão iremos utilizar duas regra básicas de derivação, que são:

Derivada da função arco tangente:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f'(\arctan(u)) = \frac{u'}{1 + u^{2}}\end{gathered}$}$

Derivada do quociente:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bigg(\frac{g}{h}\bigg)' = \frac{g'\cdot h - g\cdot h'}{h^{2}},\:\:\:\textrm{com}\:h \neq 0\end{gathered}$}$

A partir destas observações podemos calcular as derivadas parciais da referida função. Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f_{xy}(x, y) = \frac{\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)'}{1 + \bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)^{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\dfrac{x'\cdot y - x\cdot y'}{y^{2}}}{1 + \dfrac{x^{2}}{y^{2}}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\dfrac{1\cdot y - x\cdot 1}{\!\diagup \!\!\!\!\!y^{2}}}{\dfrac{y^{2} + x^{2}}{\!\diagup \!\!\!\!\!y^{2}}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{y - x}{y^{2} + x^{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{y - x}{x^{2} + y^{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \underbrace{\dfrac{y}{x^{2} + y^{2}}}_{\bf f_{x}(x, y)} - \underbrace{\dfrac{x}{x^{2} + y^{2}}}_{\bf f_{y}(x, y)}\end{gathered}$}$

Portanto, as derivadas parciais da referida função são:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f_{xy}(x, y) = \LARGE\begin{cases} f_{x}(x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}}\\\\f_{y}(x, y) = -\frac{x}{x^{2} + y^{2}}\end{cases}\end{gathered}$}$