Question

Considere a sequência: (12; 13; 15; 22; 32; 33; 35; 42; 52; 53; 55; 62; 72; 73; ...).
Essa sequência, criada com um padrão lógico, é ilimitada. Dessa forma, é possível determinar que a diferença entre o 353° e o 343° termos da sequência é igual a


a) 43.


b) 49.


c) 51.


d) 57.


e) 60.
Preciso saber como achar a solução, grata.

Answer 1

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Antes de tudo, vejamos o padrão formado pelos termos da sequência:

(12, 13, 15, 22,    32, 33, 35, 42,   52, 53, 55, 62,   72, 73, 75, 82, ... )


Note o que acontece se agruparmos os termos em grupos de 4 elementos consecutivos, de acordo com os respectivos restos que a posição n de cada termo deixa na divisão por 4:

               resto 1    resto 2    resto 3    resto 0
  t = 1          12           13            15            22
  t = 2         32          33           35            42
  t = 3         52          53           55            62
  t = 4         72          73            75            82


sendo t a variável que conta a posição de cada grupo de 4 elementos que vão sendo formados com os termos da sequência.


Perceba que

•  t = 1 é a linha que fornece o grupo contendo os termos a(1), a(2), a(3), a(4);

•  t = 2 é a linha que fornece o grupo contendo os termos a(5), a(6), a(7), a(8);

•  t = 3 é a linha que fornece o grupo contendo os termos a(9), a(10), a(11), a(12);

•  t = 4 é a linha que fornece o grupo contendo os termos a(13), a(14), a(15), a(16);

   ⋮    (seguindo o padrão acima)

•  t = k é a linha que fornece o grupo contendo os termos a(4k – 3), a(4k – 2), a(4k – 1), a(4k).


Seguindo com o raciocínio lógico para a construção da tabela, ao chegarmos na linha t = k, teremos

         resto 1                   resto 2                   resto 3                  resto 0

(2k – 1) · 10 + 2   ..   (2k – 1) · 10 + 3   ..   (2k – 1) · 10 + 5   ..   (2k) · 10 + 2


ou seja,

•  a(4k – 3) = (2k – 1) · 10 + 2

•  a(4k – 2) = (2k – 1) · 10 + 3

•  a(4k – 1) = (2k – 1) · 10 + 5

•  a(4k) = (2k) · 10 + 2


com k = 1, 2, 3, ...

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Para organizar melhor a lei de formação da sequência, vamos analisar cada caso:

•  A posição n do termo deixa resto 1 na divisão por 4:

n = 4k – 3

n + 3 = 4k

          n + 3  
k  =  ————
             4


de onde segue que

$\mathsf{a(4k-3)=(2k-1)\cdot 10+2}\\\\ \mathsf{a(n)=\left(2\cdot \dfrac{n+3}{4}-1\right)\cdot 10+2}\\\\\\ \mathsf{a(n)=\left(\dfrac{n+3}{2}-\dfrac{2}{2}\right)\cdot 10+2}\\\\\\ \mathsf{a(n)=\left(\dfrac{n+1}{2}\right)\cdot 10+2}\qquad\quad\checkmark$


•  A posição n do termo deixa resto 2 na divisão por 4:

n = 4k – 2

n + 2 = 4k

          n + 2  
k  =  ————
             4


logo,

$\mathsf{a(4k-2)=(2k-1)\cdot 10+3}\\\\ \mathsf{a(n)=\left(2\cdot \dfrac{n+2}{4}-1\right)\cdot 10+3}\\\\\\ \mathsf{a(n)=\left(\dfrac{n+2}{2}-\dfrac{2}{2}\right)\cdot 10+3}\\\\\\ \mathsf{a(n)=\left(\dfrac{n}{2}\right)\cdot 10+3}\qquad\quad\checkmark$


•  A posição n do termo deixa resto 3 na divisão por 4:

n = 4k – 1

n + 1 = 4k

          n + 1  
k  =  ————
             4


logo,

$\mathsf{a(4k-1)=(2k-1)\cdot 10+5}\\\\ \mathsf{a(n)=\left(2\cdot \dfrac{n+1}{4}-1\right)\cdot 10+5}\\\\\\ \mathsf{a(n)=\left(\dfrac{n+1}{2}-\dfrac{2}{2}\right)\cdot 10+5}\\\\\\ \mathsf{a(n)=\left(\dfrac{n-1}{2}\right)\cdot 10+5}\qquad\quad\checkmark$


•  A posição n do termo deixa resto 0 na divisão por 4, isto é, n é divisível por 4:

n = 4k

          n   
k  =  ——
          4


logo,

$\mathsf{a(4k)=(2k)\cdot 10+2}\\\\ \mathsf{a(n)=\left(2\cdot \dfrac{n}{4}\right)\cdot 10+2}\\\\\\ \mathsf{a(n)=\left(\dfrac{n}{2}\right)\cdot 10+2}\qquad\quad\checkmark$


Então a lei de formação da sequência é

$\mathsf{a(n)}=\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{\left(\dfrac{n+1}{2}\right)\cdot 10+2}&\qquad\mathsf{se~~n=4k-3}\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{n}{2}\right)\cdot 10+3}&\qquad\mathsf{se~~n=4k-2}\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{n-1}{2}\right)\cdot 10+5}&\qquad\mathsf{se~~n=4k-1}\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{n}{2}\right)\cdot 10+2}&\qquad\mathsf{se~~n=4k}\end{array} \right.\qquad\quad \mathsf{k=1,\,2,\,3,\,\ldots}$

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•  Calculando o termo da posição 353:

n = 353

n = 356 – 3

n = 4 · 89 – 3                  (k = 89)


n = 353 deixa resto 1 na divisão por 4, portanto usamos a 1ª sentença:

$\mathsf{a(n)=\left(\dfrac{n+1}{2}\right)\cdot 10+2}\\\\\\ \mathsf{a(353)=\left(\dfrac{353+1}{2}\right)\cdot 10+2}\\\\\\ \mathsf{a(353)=\left(\dfrac{354}{2}\right)\cdot 10+2}\\\\\\ \mathsf{a(353)=177\cdot 10+2}\\\\ \mathsf{a(353)=1770+2}\\\\ \mathsf{a(353)=1772}\qquad\quad\checkmark$


•  Calculando o termo da posição 343:

n = 343

n = 344 – 1

n = 4 · 86 – 1                  (k = 86)


n = 343 deixa resto 3 na divisão por 4, portanto usamos a 3ª sentença:

$\mathsf{a(n)=\left(\dfrac{n-1}{2}\right)\cdot 10+5}\\\\\\ \mathsf{a(343)=\left(\dfrac{343-1}{2}\right)\cdot 10+5}\\\\\\ \mathsf{a(343)=\left(\dfrac{342}{2}\right)\cdot 10+5}\\\\\\ \mathsf{a(343)=171\cdot 10+5}\\\\ \mathsf{a(343)=1710+5}\\\\ \mathsf{a(343)=1715}\qquad\quad\checkmark$


Sendo assim, a diferença procurada é

a(353) – a(343)

= 1772 – 1715

= 57   <———    esta é a resposta.


Resposta:  alternativa d) 57.


Bons estudos! :-)


Tags:  desafio lógico lei de formação sequência numérica