Question

Uma certa população cresce 5% ao mes sabendo que no ano de 2010 essa população era de 10.000 hb, em qual ano essa população triplicou?

Dados:

Log105 = 2,02
Log3=0,47

Answer 1

Olá Spawwn.

Propriedade logarítmica usada:


$\mathsf{\star~\boxed{\boxed{\mathsf{\ell og(a^t)~\Rightarrow t\cdot\ell og(a)}}}}\\\\\\\star~\boxed{\boxed{\mathsf{\ell og\Big(\dfrac{a}{b}\Big)~\Rightarrow~\ell og(a)-\ell og(b)}}}$


Organizando os dados.


$\mathsf{\ell og(105) = 2,02}\\\\\mathsf{\ell og(3)=0,47}\\\\\mathsf{i=5\%}$

i = taxa de crescimento.

Encontrando em quantos anos essa população será triplicada:

$\mathsf{3\diagup\!\!\!\!h=\diagup\!\!\!\!h\cdot(1+0,05)^t}\\\\\mathsf{3=(1,05)^t}\\\\\mathsf{\ell og(3)=\ell og(1,05)^t}\\\\\mathsf{\ell og(3)=t\cdot \ell og\Big(\dfrac{105}{100}\Big)~\star}\\\\\mathsf{\ell og(3)=t\cdot [\ell og(105)-\ell og(100)]~\star}\\\\\mathsf{0,47=t\cdot[2,02-2]}\\\\\mathsf{0,47=t\cdot0,02\cdot(100)}\\\\\mathsf{t=\dfrac{47}{2}}\\\\\boxed{\mathsf{t=23,5}}$

Convertendo 23,5 meses em anos:


$\mathsf{\dfrac{235}{10}\cdot \Big(\dfrac{1}{12}\Big)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{235}{120}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{120}{120}+\dfrac{115}{120}}\\\\\\\mathsf{1+\dfrac{23}{24}}$

Convertendo $\frac{23}{24}$ anos em meses:

$\mathsf{1\equiv12~\cdot\Big(\dfrac{23}{24}\Big)}\\\\\mathsf{1\equiv\dfrac{23}{2}}\\\\\mathsf{1\equiv\dfrac{22}{2}+\dfrac{1}{2}}\\\\\mathsf{1\equiv11+\dfrac{1}{2}}$

Convertendo $\mathsf{\frac{1}{2}}$ meses em dias:

$\mathsf{1\equiv30\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)}\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2}\equiv15}$


Como em 2010 a população era de 10.000 habitantes, após 1 ano e 11 meses e 15 dias, essa população passará ter 30.000 habitantes.


Dúvidas? comente.