Question

Achar m para que a equação (2m+1)x^2+4mx+2(m-1)=0 tenha duas raízes distintas:

Por favor demonstre o raciocínio :)

Answer 1

$(2m + 1)x^{2} + 4mx + 2.(m-1) = 0$

Perceba que se trata de uma equação do segundo grau (ax² + bx + c), sendo assim:
a = (2m + 1)
b = 4m
c = 2(m - 1)

E, como o exercício quer raízes da equação, você deve igualá-la a uma função. Portanto:

f(x) = ax² + bx + c
f(x) = $(2m + 1)x^{2} + 4mx + 2.(m-1) = 0$

Para descobrir as raízes, você deve igualar a função a zero, sendo assim:
f(x) = $(2m + 1)x^{2} + 4mx + 2.(m-1) = 0$
0 = $(2m + 1)x^{2} + 4mx + 2.(m-1) = 0$
$(2m + 1)x^{2} + 4mx + 2.(m-1) = 0$ = 0

Agora, para que se tenha uma equação do 2º grau com duas raízes distintas e reais, é preciso que se tenha também um Δ > 0 .

Quando Δ < 0, você tem duas raízes irreais e distintas.
Quando Δ = 0, você tem duas raízes reais e iguais..
Quando Δ > 0, você tem duas raízes reais e distintas.

b² - 4ac = Δ
E, se delta deve ser > 0 :
b² - 4ac > 0
(4m)² - 4.(2m + 1) . 2.(m - 1) > 0
16m² - 8.(2m + 1).(m - 1) > 0
16m² - 8.(2m² - 2m + m - 1) > 0
16m² - 8.(2m² - m - 1) > 0
16m² - 16m² + 8m + 8 > 0
0 + 8m + 8 > 0
8m > -8
m > $\frac{-8}{8}$
m > -1