Question

Dados A(1,1,0), B(1,2,1) e C(2,0,1), pede-se:
a) A equação geral do plano π que contém os pontos A,B e C.
b) Calcule m e n para que a reta r: (x,y,z) = (m,1-m,-1) + t(1,n,n) esteja contida no plano π.

Answer 1

Determinamos primeiro dois vetores que estão contidos no plano, ou seja, formamos dois vetores a partir dos pontos que pertencem ao plano.

$\overrightarrow{AB}=(1-1, 2-1, 1-0)=(0,1,1) \\ \overrightarrow{AC}=(2-1, 0-1, 1-0)=(1, -1, 1)$

Determinamos um vetor normal ao plano:
$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{n}=(0, 1, 1)x(1, -1, 1)= \left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\0&1&1\\1&-1&1\end{array}\right| \\ \overrightarrow{n}=2\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}=(2, 0, -2)$

Com a equação do plano:
$a(x- x_{0} )+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$
Considerando que $\overrightarrow{n}=(a, b, c)$ e $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ é qualquer um dos pontos.
Utilizemos o ponto B aqui:
$a(x- x_{0} )+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0 \\ 2(x- 1 )+0(y-2)+(-2)(z-1) =0\\ 2x-2-2z+2=0 \\ 2x-2z=0$
Essa é a equação do plano.