Question

determine a equação reduzida e a equação geral da circunferencia com centro no ponto centro C(0, -2) e raio r = 4?

Answer 1

A equação reduzida de um circunferência com centro em C=(a,b) e raio r é $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Substituindo os valores dados no enunciado:

$(x-0)^2+(y-(-2))^2=4^2\\\\ \boxed{x^2+(y+2)^2=16}$

Encontrada a equação reduzida, vamos agora encontrar a equação geral. Para isso, basta abrimos a equação vista anteriormente:

$x^2+(y+2)^2=16\\\\ x^2+y^2+4y+4=16\\\\ \boxed{x^2+y^2+4y-12=0}$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Signei, que a resolução é bem simples.

Antes de mais nada veja que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r tem a seguinte equação reduzida:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²        . (I) <---- Vamos deixar esta fórmula aqui guardadinha.

Agora vamos à equação da sua questão.
É pedida a equação (reduzida e geral) da circunferência que tem centro em C(0; -2) e raio = 4.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos encontrar primeiro a equação reduzida. Depois, a partir da equação reduzida, encontraremos a equação geral.

Bem, para encontrar a equação reduzida, vamos nos fixar no centro da circunferência, que é C(0; -2) e no raio (r = 4).
Assim, teremos;

(x-0)² + (y-(-2))² = 4²
(x-0)² + (y+2)² = 16 ---- ou apenas:
x² + (y+2)² = 16 <--- Esta é a equação reduzida pedida. Faça a comparação da equação que acabamos de encontrar com a equação reduzida que deixamos lá na expressão (I). Da comparação, você já conclui que a equação reduzida da circunferência da sua questão é a que acabamos de encontrar aí em cima.

ii) Agora vamos à equação geral. Para isso, basta que façamos os devidos desenvolvimentos da equação reduzida acima encontrada e que é esta:

x² + (y+2)² = 16 ----- desenvolvendo o quadrado indicado, teremos:
x² + y² + 4y + 4 = 16 ---- passando "16" para o 1º membro, teremos:
x² + y² + 4y + 4 - 16 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² + y² + 4y - 12 = 0 <--- Esta é a equação geral da circunferência da sua questão.

iii) Assim, resumindo, teremos que a equação reduzida e geral da circunferência da sua questão serão estas, respectivamente:

. Reduzida: x² + (y+2)² = 16
. Geral: x² + y² + 4y - 12 = 0

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.