Question

Uma vari´avel aleat´oria X tem a fun¸c˜ao densidade dada por

f(x) =
e
−x
, x ≥ 0

0, x < 0

Encontre E
( e^2x/3)

Answer 1

A densidade da variável aleatória X é dada por

$f(x)=\begin{cases}e^{-x},~~x\ge0\\0,~~~~~x~\textless~0\end{cases}$

A esperança de Y = g(X) é calculada por

$E[g(X)]=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$

Como $Y=g(x)=e^{2X/3}$, temos que

$E[e^{2X/3}]=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{2x/3}f(x)dx=\int_{0}^{+\infty}e^{2x/3}\cdot e^{-x}dx$

pois $f(x)=0$ para $x~\textless~0$

Portanto:

$E[e^{2X/3}]=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{2x/3}e^{-x}dx\\\\\\E[e^{2X/3}]=\int_{0}^{+\infty}e^{(2x/3)-x}dx\\\\\\E[e^{2X/3}]=\int_{0}^{+\infty}e^{-x/3}dx\\\\\\E[e^{2X/3}]=3\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{3}e^{-(1/3)x}dx\\\\\\E[e^{2X/3}]=3\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx}$

Onde $h(x)$ é a densidade de uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro $\frac{1}{3}$. Como essa é uma integral de uma função densidade de probabilidade, então

$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{3}e^{-(1/3)x}=\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx=1$

Logo,

$E[e^{2X/3}]=3\cdot1\\\\\boxed{\boxed{E[e^{2X/3}]=3}}$