Question

Sejam $\bar{u} = (-1, 2, 3)\:e\:\bar{v} = (2,-1,0)$ vetores de $R^3$
a) mostre que o conjunto $\{{\bar{u},\bar{v}} \}\:\'e \: LI$
b) Mostre que o vetor $\bar{w} = (11,-10,-9)$ pode ser escrito como combinação linear dos vetores

Answer 1

Boa noite!

Solução!

Se os vetores são L I eles tem que ser iguais a zero.

$Vetor~~ nulo!\\\\\\\ \vec{t}=(0,0,0)\\\\\\ \vec{u}=(-1,2,3)\\\\\\ \vec{v}=(2,-1,0)$

Fazendo uma combinação linear com o vetor nulo.

$a(-1,2,3)+b(2,-1,0)=(0,0,0)\\\\\ Um~~ sistema$

$\begin{cases} -a+2b=0\\ ~~~2a-b=0\\ ~~~3a+0b=0 \end{cases}\\\\\\ 3a=0\\\\\ a= \dfrac{0}{3}\\\\ a=0\\\\\\ 2a-b=0\\\\ 2.0-b=0\\\\ 0-b=0\\\\ b=0$

Como A e B são iguais a zero,esta provado que os vetores são LI

$\boxed{Resp~~(0,0,0)}$


B)

$\vec{u}=(-1,2,3)\\\\\\ \vec{v}=(2,-1,0)\\\\\ \vec{w}=(11,-10,-9)$

$a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{w}\\\\\ a(-1,2,3)+b(2,-1,0)= (11,-10,-9)\\\\\\\ \begin{cases} -a+2b=11\\ 2a-b=-10\\ 3a+0b=-9\\ \end{cases}\\\\\\\\ Resolvendo ~~o ~~sistema!\\\\\\ 3a=-9\\\\ a= -\dfrac{9}{3}\\\\\ \boxed{a=-3}$


$2a-b=-10\\\\ 2.(-3)-b=-10\\\\\ -6-b=-10\\\\\ -b=-10+6\\\\ -b=-4\\\\ \boxed{b=4}\\\\\ (-3,4)$

Veja porque é possível escrever os vetores como combinação linear.

$-(-3)+2(4)=11\\\\ 2(-3)-(4)=-10\\\\ 3(-3)+0(4)=-9\\\\\\\ ~~~~11=11\\ -10=-10\\ -9=-9$

Então a resposta da questão B é afirmativa,podemos escrever os vetores como combinação linear.

Boa noite!