Question

dois irmaos faial e varabtem 40 anos .faial embarca em uma viagem ate a estrela alfa na contelacao centauro , distante 40 anos-luz da terra a viagem transcorre a 80% da velocidade da luz .calcule a idade dos 2 quando faial regressar

Answer 1

A dilatação do tempo é um fenômeno postulado na Teoria da Relatividade Restrita. 
$\boxed{\Delta \tau=\Delta t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} }$
Onde:
$\Delta \tau$ = variação do tempo dilatado (observado pelo viajante da nave)
$\Delta t$ = variação do tempo própria (tempo percebido pelo observador estático)$c=3\cdot10^{5}km/s$ (velocidade da luz)
$v$ = velocidade da nave.

Problema:

Faial viajou durante 40 anos-luz até chegar na estrela e mais 40 anos-luz para retornar.1 ano luz tem aproximadamente:
$9.46\cdot10^{12}km$então em 80 anos-luz Faial percorre a distância X:
$x=(8\cdot10)\cdot(9.46\cdot10^{12}km)=75.68\cdot10^{13}km=7.568\cdot10^{14}km$
com a velocidade:
$\displaystyle v=8\cdot c\cdot10^{-1}km/s=80\%c\\v=8\cdot 3\cdot 10^{5-1}km/s=2.4\cdot10^{5}km/s$
(80% da velocidade da luz)

Encontrar o tempo próprio (t):

Pela equação horária do espaço (considerando que durante toda viagem sua velocidade foi constante), podemos manipular a fórmula para obter o tempo em função da velocidade e do espaço:
$\displaystyle x(t)=x_0+vt\implies t=\frac{x-x_0}{v}$
usando os dados fornecidos anteriormente:
$\displaystyle x=7.568\cdot10^{14}km\\v=2.4\cdot10^{5}km/s$

teremos:

$\displaystyle t=\frac{7.568\cdot10^{14}km-0}{2.4\cdot10^{5}km/s}=3.15\bar3\cdot\frac{10^{14}}{10^5}s\approx3.153\cdot10^{9}s$

o tempo próprio foi de aproximadamente 3153000000 segundos!!! (coisa pra caramba kkk)

Descobrir o valor do tempo dilatado:

Veja fórmula que dei no início, perceba que temos todos os dados. Podemos encontrar o valor do tempo dilatado solucionando a equação, com os dados abaixo:
$\displaystyle \Delta \tau=~?\\\Delta t=3.153\cdot10^{9}s\\x=7.568\cdot10^{14}km\\v=2.4\cdot10^{5}km/s\\c=3\cdot10^{5}km/s$então:$\displaystyle i)~~~\Delta \tau=\Delta t\cdot\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\\\\\ii)~~ \Delta \tau=3.153\cdot10^{9}s\cdot\sqrt{1-\frac{(2.4\cdot10^{5}km/s)^2}{(3\cdot10^5km/s)^2}}\\\\\\iii)~\Delta \tau=3.153\cdot10^9s\cdot\sqrt{1-\frac{5.76\cdot10^{10}km^2/s^2}{9\cdot10^{10}km^2/s^2}}\\\\\\iv)~\Delta\tau=3.153\cdot10^9s\cdot\sqrt{1-\frac{5.76\cdot10^{10}}{9\cdot10^{10}}}\\\\\\v)~\Delta\tau=3.153\cdot10^9s\sqrt{1-0,64}\\\\vi)\Delta\tau=3.153\cdot10^9s\sqrt{0,36}$
$\displaystyle \\\\vii)~~\Delta\tau=3.153\cdot10^9s\cdot0.6\\\\viii)~\Delta\tau=1.8918\cdot6\cdot10^9\cdot10^{-1}s\\\\ix)~~~\Delta\tau=11.3508\cdot10^8s\\\\\boxed{\Delta\tau=1.13508\cdot10^9s}$

Fazendo um levantamento:

$1min=60s\\1h=60min=3.6\cdot10^3s\\1mes=720h=4.32\cdot10^4min=2.592\cdot10^6s\\1ano=12meses=8640h=5.184\cdot10^5min=1,86624\cdot10^9s$
e com os dados que obtemos:
$\Delta t=3.153\cdot10^{9}s\\\Delta\tau=1.13508\cdot10^9s$
chegamos aos seguintes numeros:
$\displaystyle \boxed{t=\frac{3.153\cdot10^{9}s}{1.86624\cdot10^9s}=\frac{3.153}{1.86624}=1.689\approx1.7~anos}\\\\\boxed{\tau=\frac{1.113508\cdot10^9s}{1.86624\cdot10^9s}=\frac{1.113508}{1.86624}=0.59\approx0.6~anos}\\\\1.7~anos=1~ano+\frac{7}{10}\cdot12~meses=1~ano~e~8.4~meses. \\\\\frac{6\cdot12}{10}=7.2~meses$

Ou seja:

Quando Faial retornar, Varabtem terá 41 anos e 8 meses e Faial ainda terá 40 anos, estará apenas 7 meses mais velho.