Question

a equação 3kx^2-(k^2+6)x+2k=0 é do 2º grau em x. determine, em função de k, as raizes dessa euqação.

segue a foto do exercicio caso nao tenha ficado claro.

a resposta esta na outra foto, preciso saber como chegar ao resultado agredeco desde ja

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gabiods, que a resolução é simples.
Pede-se que se dê as raízes da equação abaixo, em função de "k":

3kx² - (k²+6)x + 2k = 0 ---- vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é esta;

x = [-b+-√(Δ)]/2a

Note que os coeficientes e o Δ da função dada acima são estes:

a = 3k --- (é o coeficiente de x²)
b = -(k²+6) ---- (é o coeficiente de x)
c = 2k --- (é o coeficiente de do termo independente)
Δ = b²-4ac = [-(k²+6)]² - 4*3k*2k= [-k²-6]² - 24k² = k⁴+12k²+36 - 24k² = k⁴-12k²+36.

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

x = [-(k²+6)+-√(k⁴-12k²+36)]/2*3k
x = [-(k²+6)+-√(k⁴-12k²+36)]/6k

Note que (k⁴-12k²+36) nada mais é do que (k²-6)², pois note que:
(k²-6)² = k⁴-12k²+36.
Assim, vamos substituir (k⁴-12k²+36) por (k²-6)² . Então ficaremos:

x = [-(k+6)+-√(k²-6)²]/6k

Agora note mais isto: como "k²-6" está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz, ficando apenas assim:

x = [-(k+6) +- (k²-6)]/6k ----- daqui você conclui que:

x' = [-(k+6)-(k²-6)]/6k ---- retirando-se os parênteses, teremos:
x' = [-k-6-k²+6]/6k --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos:
x' = [-k²-k]/6k ---- se pusermos "k" em evidência, teremos;
x' = k*[-k-1]/6k --- dividindo-se "k" do numerador com "k" do denominador, temos:
x' = [-k-1]/6 ---- ou apenas:
x' = (-k-1)/6 ---- ou ainda, pondo o sinal de menos para antes dos parênteses:
x' = - (k+1)/6 <--- Esta é a primeira raiz, ou seja, esta é uma forma de apresentar a primeira raiz em função de "k".

Vamos à segunda raiz:

x'' = [-(k+6)+(k²-6)]/6k ---- retirando-se os parênteses, teremos:
x'' = [-k-6+k²-6]/6k ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
x'' = [k²-k-12]/6k ---- veja que isto é a mesma coisa que:
x'' = k²/6k - k/6k - 12/6k ----- simplificando cada fator, teremos;
x'' = k/6 - 1/6 - 2/k <---- Esta seria a 2ª raiz. Ou seja, esta é uma forma de apresentar a segunda raiz em função de "k".

Se você apresentar as opções que, certamente, a questão oferece, iremos ver se ainda teremos tempo de editar a nossa resposta para deixar as duas raízes na forma pedida pela questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.