Question

sabendo-se que o polinômio p(x)=ax³+bx²+2x-2 é divisível por (x+1 e por x-2) podemos afirmar que:


resolução por favor !! :)

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Answer 1

$Como \ -1 \ \'e \ raiz \ de \ p(x), \ temos \ que \ p(-1)=0\\ p(x)=ax^3+bx^2+2x-2\\ p(-1)=a\cdot(-1)^3+b\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)-2\\ p(-1)=a\cdot(-1)+b\cdot1-2-2\\ p(-1)=-a+b-2-2\\ p(-1)=-a+b-4\\ 0=-a+b-4\\ -a+b-4=0\\ -a+b=0+4\\ -a+b=4$

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$Como \ -2 \ \'e \ raiz \ de \ p(x), \ temos \ que \ p(2)=0\\ p(x)=ax^3+bx^2+2x-2\\ p(2)=a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+2\cdot 2-2\\ p(2)=a\cdot 8+b\cdot4+4-2\\ p(2)=8a+4b+2\\ 0=8a+4b+2\\ 8a+4b+2=0\\ 8a+4b=0-2\\ 8a+4b=-2 \ \ \ (:2)\\ 4a+2b=-1$
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Obtemos um sistema com duas variáveis:
$\left \{ {{-a+b=4} \atop {4a+2b=-1}} \right.$

Vamos isolar o b na primeira equação e substituir na 2°.
$-a+b=4\\ b=4+a\\ \\--------------\\ \\ Substituindo \ na \ segunda:\\ \\4a+2b=-1\\ \\4a+2\cdot(4+a)=-1\\ \\4a+8+2a=-1\\ \\4a+2a=-1-8\\ \\6a=-9$
$\\a= \frac{-9^{:3}}{6_{:3}} \\ \\a=- \frac{3}{2} \\ \\ \\Determinando \ o \ valor \ de \ b\\ \\-a+b=4\\ \\-\big(- \frac{3}{2}\big)+b=4\\ \\ \frac{3}{2}+b=4\\ \\b=4- \frac{3}{2}\\ \\b=\frac{8}{2}- \frac{3}{2}\\ \\b=\frac{8-3}{2}\\ \\b=\frac{5}{2}$
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$p(x)=ax^3+bx^2+2x-2\\ \\p(x)=-\frac{3}{2}x^3+\frac{5}{2}x^2+2x-2$
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a e b tem sinais opostos e são racionais e não são inteiros (letra C)

Answer 2

como temos x + 1 e x - 2, temos raízes -1 e 2 para o polinômio p(x). Vamos substituir no polinômio estes valores):
p(-1) = a (-1)³ + b (-1)² + 2(-1) - 2
p(-1) = a . (-1) + b (1) -2 - 2
p(-1) = -a + b - 4
-a + b = 4 (1ª equação)

p(2) = a . 2³ + b . 2² + 2 .2 - 2
p(2) = 8a + 4b + 4 - 2
p(2) = 8a + 4b + 2 (:2)
p(2) = 4a + 2b + 1
4a + 2b = -1 (2ª equação)

Montando o sistema para achar a e b:
-  a +   b = 4   (multiplicando por 4)
 4a + 2b = -1
-4a + 4b = 16
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 0    +6b = 15
           b = 15/6 ∴ b = 5/2      (aqui simplificamos por 3 para dar 5/2)
achamos o b agora vamos achar o a:
-a + b = 4
-a + 5/2 = 4
-2a + 5 = 8
-2a = 8-5
-2a = 3 ∴ a = -3/2

a é racional negativo e b é racional positivo, então eles tem sinais opostos.

resposta: alternativa C : a e b tem sinais opostos e são racionais não inteiros