Question

O valor da expressão
(1 - 1/3)(1+ 1/3)(1+ 1/9)(1 + 1/81)(1 + 1/6561) é :


RESPOSTA : 1 - (1/3)^16


Passo a passo por favor

Answer 1

Olá Matheus.


Para resolver essa expressão de uma forma prática, você pode utilizar o produto notável da diferença de dois quadrados: a² - b² = (a - b) * (a + b).

Organizando e resolvendo a equação:


$\mathsf{\underbrace{\mathsf{\Big(1-\dfrac{1}{3}\Big)\cdot\Big(1+\dfrac{1}{3}\Big)}}\cdot\Big(1+\dfrac{1}{9}\Big)\cdot\Big(1+\dfrac{1}{81}\Big)\cdot\Big(1+\dfrac{1}{6561}\Big)}\\\\\\\mathsf{\underbrace{\mathsf{{\Big(1-\dfrac{1}{3^2}\Big)\cdot\Big(1+\dfrac{1}{3^2}\Big)}}}\cdot\Big(1+\dfrac{1}{3^4}\Big)\cdot\Big(1+\dfrac{1}{3^8}\Big)}}\\\\\\\mathsf{\underbrace{\mathsf{\Big(1-\dfrac{1}{(3^2)^2}\Big)\cdot\Big(1+\dfrac{1}{3^4}\Big)}}\cdot\Big(1+\dfrac{1}{3^8}\Big)}}$

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{\Big(1-\dfrac{1}{3^8}\Big)\cdot\Big(1+\dfrac{1}{3^8}\Big)}}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\Big(1-\dfrac{1}{3^{16}}\Big)}}$



Dúvidas? comente.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Matheuspereira, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = (1-1/3)*(1+1/3)*(1+1/9)*(1+1/81)*(1+1.6.561).

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Note que (a-b)*(a+b) = a² - b² ---- (produto da soma pela diferença).
 
Tendo portanto o que se viu aí como parâmetro, então:

(1 - 1/3)*(1 + 1/3) = 1² - (1/3)² = (1 - 1/9). Então vamos na expressão acima e, no lugar de (1-1/3)(1+1/3), colocaremos (1-1/9). Assim, ficaremos:

y = (1 - 1/9)*(1 + 1/9)*(1 + 1/81)*(1 + 1/6.561).

Igualmente, note que (1 - 1/9)*(1+1/9) = 1² - (1/9)² = 1 - 1/81.
Portanto, vamos novamente à nossa expressão "y" e colocaremos (1 - 1/81) no lugar de (1-1/9)*(1+1/9). Assim, ficaremos:

y = (1 - 1/81)*(1 + 1/81) *(1 + 1/6.561);

Novamente note que (1-1/81)*(1+1/81) = 1² -(1/81)² = 1 - 1/6.561.
Logo, colocaremos (1-1/6.561) no lugar de (1-1/81)*(1+1/81). Assim, fazendo isso, teremos:

y = (1 - 1/6.561)*(1 + 1/6.561)

Finalmente, veja que o que temos aí em cima nada mais do que a repetição do que vimos até agora, ou seja: (a-b)*(a+b) = a² - b².
Nesse caso, (1 - 1/6.561)*(1+1/6.561) = 1² - (1/6.561)². Então vamos colocar isso no lugar , ficando assim:

y = 1 - (1/6.561)² ------ note que 1² = 1 e que 1/6.561 = (1/3)⁸ . Assim, ficaremos com:

y = 1 - [(1/3)⁸]² ---------- multiplicando os expoentes, teremos isto:

y = 1 - (1/3)¹⁶   <----- Esta é a resposta. Então o seu gabarito está correto.

Note que o número acima encontrado é bem pertinho de "1". Para ser mais exato é igual a: 0,9999999767694.......

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.