Question

Determine a fração geratriz de cada uma das dízimas periódicas
a)3,151515...
b)0,05222...
c)0,007007007...
d)2,4777...
e)0,1444...

Answer 1

A) na questão A vemos que antes da vírgula tem um 3, e depois da vírgula tem 15 se repetindo. Fazemos assim: 3+15/99
Para cada algarismo que se repete, você coloca um 9 embaixo do número. Exemplo: se for 0,333333333..., isso vai ser igual a 3/9 (pois só um algarismo se repete, que é o 3). Veja que se você simplificar esse 3/9 (dividir em cima e embaixo por 3), vai dar 1/3. Voltando:
3+15/99, multiplicamos em cima e embaixo do 3 por 99, para podermos fazer a soma de frações (é tipo MMC, perceba que dizer 3 e dizer 6/2 é a mesma coisa, pois 6 divididos por 2 é igual a 3. Pra obter 6/2, eu multipliquei em cima e embaixo por 2, ou seja, 3/1 → 6/2.
Então:
297/99+15/99 → Somamos os de cima e mantemos o de baixo.
312/99 → Perceba que 3+1+2=6 e 9+9=18, 1+8=9. 6 e 9 são da tabuada do 3, então podemos simplificar por 3 (os dois números são divisíveis por 3), quando efetuarmos a divisão, isso vai dar:
104/33.

B) 47/900

Aqui já é um pouco diferente. Temos uma coisa chamada de anti-período, que é esse 5. Antes da sequência do 2 começar, há um 5, esse 5 é o anti-período, e o período é o 52. Fazemos o mesmo esquema, mas diminuindo 5 de 52. Fica assim:
52-5/900=47/900. O 900 surgiu por que só um se repete continuamente (que é o 2), porém para a vírgula chegar até o 5 ela tem que andar 2 casas, então colocamos 2 zeros. 0,052 → 0,52 → 5,2 (teve duas setinhas, ou seja, andamos duas casas). Logo, a resposta é 47/900

C) 7/999
700/99900 (2 zeros pois a vírgula precisa chegar no 0 que está antes do 7. Nesse caso, não há anti-período, pois o 700 se repete sim continuamente, então o anti-período é o 0, a vírgula tem que chegar até o 0).
Podemos cortar os zeros em cima e embaixo, então vai ficar 7/999

D) 223/90
Anti-período: 24
Período: 247
247-24/90 (a vírgula tem que chegar SEMPRE uma casa antes do período começar, então ela vai ter que ficar no 4. 2,47 → 24,7 (perceba que foi uma setinha, então um zero adicionado embaixo).
247-24=223/90

E) 13/90
Anti-período: 1
Período: 14
14-1/90=13/90 (lembre-se, a vírgula fica um antes do período).

PS: deixei a questão A diferente para você tentar fazer na questão A também essa parada do anti-período xD Perceba que no A você não vai precisar mover a vírgula, e nem adicionar nenhum 0.

Outra forma de pensar é: o número de algarismos do anti-período é o número de casas zeros que você tem que colocar embaixo. Exemplo: na questão A não tem anti-período, então são zero zeros (eita). Na B tem o 05 antes do 222..., 0 e 5 são dois algarismos, então 2 zeros. Na C também, tem o 00 antes do 7, então são 2 zeros, e assim vai.