Question

Sabendo que sen(x)= -12/13, x e um arco do 3° quadrante, cos(y)=3/5 e y um arco do 1° quadrante,encontre os valores de:
a) sen (x+y)
b) sen (x-y)
c) cos (x+y)
d) cos (x-y)

Answer 1

Oi Bianca.

Seno=Oposto/Hipotenusa.

Então temos:

$sen(x)=-\frac { 12 }{ 13 } \\ \\ op=12\\ hip=13 \\ adj=?$

Precisamos do outro cateto, então é só usar o pitágoras:

$adj^{ 2 }+12^{ 2 }=13^{ 2 }\\ adj^{ 2 }=169-144\\ adj^{ 2 }=25\\ adj=\sqrt { 25 } \\ adj=5$

Cosseno=Adjacente/Hipotenusa
Então temos:

Lembrando que ele disse que está no terceiro quadrante, e nesse quadrante o cosseno é negativo.

$cos(x)=-\frac { 5 }{ 13 }$


Ele também forneceu o seno de Y, então é só fazer o mesmo esquema:

$cos(y)=\frac { 3 }{ 5 } \\ \\ adj=3\\ hip=5\\ op=\\ \\ op^{ 2 }+3^{ 2 }=5^{ 2 }\\ op^{ 2 }=25-9\\ op=\sqrt { 16 } \\ op=4$

$sen(y)=\frac { 4 }{ 5 }$


Pronto, agora é só resolver.

$a)\\ sen(x+y)=senx*cosy+seny*cosx\\ sen(x+y)=(-\frac { 12 }{ 13 } )*\frac { 3 }{ 5 } +\frac { 4 }{ 5 } *(-\frac { 5 }{ 13 } )\\ \\ sen(x+y)=-\frac { 36 }{ 65 } -\frac { 20 }{ 65 } \longrightarrow -\frac { 56 }{ 65 }$

$b)\\ sen(x-y)=senx*cosy-seny*cosx\\ \\ sen(x-y)=(-\frac { 12 }{ 13 } )*\frac { 3 }{ 5 } -\frac { 4 }{ 5 } *(-\frac { 5 }{ 13 } )\\ \\ sen(x-y)=-\frac { 36 }{ 65 } +\frac { 20 }{ 65 } \longrightarrow \frac { -16 }{ 65 }$

$c)\\ cos(x+y)=cos*cosy-senx*seny\\ \\ cos(x+y)=-\frac { 5 }{ 13 } *\frac { 3 }{ 5 } -(-\frac { 5 }{ 13 } )*\frac { 4 }{ 5 } \\ \\ cos(x+y)=\frac { -15 }{ 65 } +\frac { 20 }{ 65 } \rightarrow \frac { 5 }{ 65 } \longrightarrow \frac { 1 }{ 13 }$

$d)\\ cos(x-y)=cos*cosy+senx*seny\\ \\ cos(x-y)=\frac { -5 }{ 13 } *\frac { 3 }{ 5 } +(-\frac { 5 }{ 13 } )*\frac { 4 }{ 5 } \\ \\ cos(x-y)=-\frac { 15 }{ 65 } -\frac { -20 }{ 65 } \rightarrow \frac { -5 }{ 65 } \longrightarrow -\frac { 1 }{ 13 }$