Question

entre dois números reais distintos existem infinitos números reais. V ou F?

Answer 1

Olá Geomoreira.


Vamos representar dois números distintos, onde um será maior que o outro da seguinte forma: $\mathsf{r_1<_2}$

Acima temos uma desigualdade entre dois números distintos, onde $\mathsf{r_2}$ é maior que o $\mathsf{r_1}$.

Vejamos.. o que queremos provar é que existe números infinitos entre dois números distintos, correto? ou seja:

$\mathsf{r_1<r<r_2}$

Precisamos provar a desigualdade acima, que existe um número (r) que estará entre esses dois números $\mathsf{r_1}$ e $\mathsf{r_2}$.

Primeiro vamos trabalhar com a nossa primeira desigualdade somando seus dois lados. Lembrando que adicionar, subtrair, multiplicar e dividir os dois lados da desigualdade, isso não irá altera-la. A menos que você não multiplique os dois lados por um número negativo ou divida os dois lados por um número negativo, ex:

$\mathsf{r_1\ \textless \ r_2~\cdot(-1)}\\\\\mathsf{-r_1\ \textgreater \ -r_2}$

Acima a desigualdade foi invertida pelo fato da multiplicação de um número negativo.

Continuando nossa resolução..

$\mathsf{r_1\ \textless \ r_2~(+r_1)}\\\\\star\boxed{\mathsf{r_1+r_1\ \textless \ r_2+r_1}}\mathsf{~\gets Rela\c{c}\~ao~1}\\\\\mathsf{r_1\ \textless \ r_2~(+r_2)}\\\\\star\boxed{\mathsf{r_1+r_2\ \textless \ r_2+r_2}}~\gets~\mathsf{Rela\c{c}\~ao~2}$

Vejamos.. Vamos imaginar que o número r seja igual a soma de $\mathsf{r_1}$ mais $\mathsf{r_2}$ dividido por 2:

$\mathsf{r=\dfrac{r_1+r_2}{2}}$

Precisamos provar agora que este número esta entre $\mathsf{r_1}$ e $\mathsf{r_2}$ :

$\mathsf{r_1\ \textless \ \dfrac{r_1+r_2}{2}\ \textless \ r_2~\cdot(2)}\\\\\mathsf{2r_1\ \textless \ r_1+r_2\ \textless \ 2r_2}\\\\\mathsf{r_1+r_1\ \textless \ r_1+r_2\ \textless \ r_2+r_2}\\\\\boxed{\mathsf{r_1+r_1\ \textless \ r_1+r_2}}~\gets~\mathsf{Rela\c{c}\~ao~1~\checkmark}\\\\\\\boxed{\mathsf{r_1+r_2\ \textless \ r_2+r_2}}\mathsf{~\gets~Rela\c{c}\~ao~2~\checkmark}$

Acima fizemos a checagem de cada lado da desigualdade para ver se ela verdadeira, e pelas relações que vimos inicialmente elas são verdadeiras!

Portanto, existirá sempre um número infinito que estará entre dois números distintos!

Dúvidas? comente.

Answer 2

Essa afirmação é verdadeira...

Bons estudos