Question

1) Simplifique os radicais:

a)$\sqrt[3]{54}$
b) $\sqrt{ \frac{a \sqrt{b} }{ \sqrt[3]{ab} } } . \sqrt[4]{b}$
c) $( \sqrt[3]{ \sqrt{5ab} } )^2. \sqrt[3]{25a^2b^2}$
d) $\sqrt[n-1]{ \frac{a}{ \sqrt[n]{a} } }$
e) $\sqrt{( \frac{2,133...}{53+ \frac{1}{3} } )^{-3}}$

Passo a passo, por favor!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Flávio, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Pede-se para simplificar os seguintes radicais::

a) ∛(54) ---- note que 54, quando fatorado, é: 54 = 2.3³. Assim, ficaremos:

∛(54) = ∛(2.3³) ----- como o "3" está elevado ao cubo, então ele sai de dentro da raiz cúbica, ficando assim :

∛(2.3³) = 3∛(2) <--- Esta é a resposta para a questão "a".


b) √[a√(b)/∛(ab)] * ⁴√(b)

Agora note que:
√(b) = b¹/².
∛(ab) = (ab)¹/³
⁴√(b) = b¹/⁴

Assim, substituindo-se, teremos isto:

√[a*b¹/² / (ab)¹/³] * b¹/⁴ ----- vamos logo trabalhar com o que está dentro do radical, ficando assim:

√[a¹*b¹/² / a¹/³*b¹/³] * b¹/⁴ ---- note que, dentro do radical temos uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:

√[a¹⁻¹/³ * b¹/²⁻¹/³] * b¹/⁴ ---- veja que 1-1/3 = 2/3; e 1/2 - 1/3 = 1/6. Logo:
√[a²/³ * b¹/⁶] * b¹/⁴ ---- agora veja que √[a²/³ * b¹/⁶= = a⁽²/³⁾/² * b⁽¹/⁶⁾/² . Assim, ficaremos:

a⁽²/³⁾/² * b⁽¹/⁶⁾/² * b¹/⁴ ---- note que a⁽²/³⁾/² = a²/⁶ e b⁽¹/⁶⁾/² = b¹/¹². Assim:

a²/⁶ * b¹/¹² * b¹/⁴ ---- veja que a²/⁶ = a¹/³ (após simplificarmos o expoente por 2. Assim:

a¹/³ * b¹/¹² * b¹/⁴ --- agora veja que temos uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

a¹/³ * b¹/¹²⁺¹/⁴ ----- note que 1/12 + 1/4 = 4/12 = 1/3 (após simplificarmos por "4"). Assim, ficaremos da seguinte forma:

a¹/³ * b¹/³ = (a*b)¹/³ = ∛(ab) <--- Esta é a resposta para a questão "b".


c) ∛[√(5ab)²] * ∛(25a²b²) ---- veja: como (5ab) está ao quadrado, então este fator sairá de dentro da raiz quadrada, ficando apenas assim:

∛(5ab) * ∛(25a²b²) ---- como os índices dos radicais são iguais, então poderemos efetuar o produto indicado, ficando assim:

∛(5ab) * ∛(25a²b²) = ∛(5ab)*25a²b²) ---- ou, o que é a mesma coisa:
∛(5ab)*25a²b²) = ∛(5*25*a*a²*b*b²) ---- note que "a" e "b" que estão sem expoentes eles têm, na verdade, expoentes iguais a "1". É como se fosse:
∛(5*25*a*a²*b*b²) = ∛(5*25*a¹*a²*b¹*b²) ---- note que 5*25 = 125; e, entre as incógnitas, temos multiplicando de potências da mesma base, cuja regra você já sabe como é, pois já vimos isso na questão anterior. Assim:

∛(5*25*a¹*a²*b¹*b²) = ∛(125a¹⁺².b¹⁺²) ----- desenvolvendo, temos:
∛(125a¹⁺².b¹⁺²) = ∛(125a³b³) ---- note que 125 = 5³. Assim, teremos:
∛(125a³b³) = ∛(5³a³b³) ---- note que isto é a mesma coisa que:
∛(5³a³b³) = ∛(5ab)³ ----- como o fator "5ab" está ao cubo, então ele sai de dentro da raiz cúbica, com o que ficaremos assim:

∛(5ab)³ = 5ab <--- Esta é a resposta para a questão "c".


d) ⁽ⁿ⁻¹⁾√[(a¹) / ⁿ√(a¹)] ---- veja que ⁿ√(a¹) = a¹/ⁿ . Assim, substituindo-se, temos:

⁽ⁿ⁻¹⁾√[(a¹) / (a¹/ⁿ)] ---- veja que, dentro do radical, temos uma divisão de potências da mesma base, cuja regra é: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:

⁽ⁿ⁻¹⁾√[(a¹) / (a¹/ⁿ)] = ⁽ⁿ⁻¹⁾√[(a¹⁻¹/ⁿ)  ----- veja que 1 - 1/n = (n-1)/n. Logo, ficaremos:
⁽ⁿ⁻¹⁾√[(a¹⁻¹/ⁿ) = ⁽ⁿ⁻¹⁾√[(a⁽ⁿ⁻¹⁾/ⁿ]

Finalmente, veja que: ⁽ⁿ⁻¹⁾√[(a⁽ⁿ⁻¹⁾/ⁿ] = (a⁽ⁿ⁻¹⁾/ⁿ)/⁽ⁿ⁻¹⁾ ---- Assim, ficaremos com:

⁽ⁿ⁻¹⁾√[(a⁽ⁿ⁻¹⁾/ⁿ] = (a⁽ⁿ⁻¹⁾/ⁿ)/⁽ⁿ⁻¹⁾ ---- e finalmente, veja que isto é a mesma coisa que:

 (a⁽ⁿ⁻¹⁾/ⁿ)/⁽ⁿ⁻¹⁾ = (a⁽ⁿ⁻¹⁾/ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾) --- dividindo-se o expoente "n-1" do numerador com o expoente "n-1" do denominador, iremos ficar apenas com: a¹/ⁿ. Assim:

(a⁽ⁿ⁻¹⁾/ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾) = a¹/ⁿ = ⁿ√(a) <--- Esta é a resposta para a questão "d".


e) √[(2,1333... / (53+1/3)]⁻³ ---- vamos logo fazer tudo o que temos direito antes de levar em conta o expoente "-3". Assim, teremos: 

Veja que:
2,13333..... = 32/15; e 53 + 1/3 = 160/3. Assim, substituindo-se, teremos:

√[(32/15)/(160/3)]⁻³ ---- note que temos uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:

√[(32/15)/(160/3)] = √[(32/15)*(3/160) = √(32*3/15*160) = √(96/2.400) -- ou seja, temos que:

√(32*3/15*160) = √(96/2.400)⁻³ ---- veja que 96/2.400 = 1/25 (após simplificarmos tudo por "96"). Logo, ficaremos assim:

√(96/2.400)⁻³ = √(1/25)⁻³ ---- finalmente, veja que √(1/25)⁻³ = √(1/(1/25)³)). Logo:

√(1/25)⁻³ = √(1/(1/25)³)) ----- note que 1/(1/25)³ = 25³. Assim, ficaremos:
√(1/(1/25)³)) = √(25)³ = √(15.625) = 125<--- Esta é a resposta para a questão do item "e".

Pronto. A edição da minha resposta deu-se apenas porque eu não havia levado em conta o expoente "-3". Agora está tudo ok. 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.