Question

$Um \ m\acute{e}todo \ utilizado \ no \ balanceamento \ de \ rea\c{c}\tilde{o}es \ qu\acute{i}micas \ consiste \\ em \ associar \ vari\acute{a}veis \ aos \ coeficientes \ de \ cada \ composto \ e \ igualar \ suas \\ quantidades \ nos \ reagentes \ com \ as \ quantidades \ nos \ produtos \ de \ modo \\ a \ obter \ um \ sistema \ de \ equa\c{c}\tilde{o}es \ lineares \ .$
$Por \ exemplo\ , \ a \ equa\c{c}\tilde{a}o \ qu\acute{i}mica \ que \ representa \ a \ rea\c{c}\tilde{a}o \ de \ produ\c{c}\tilde{a}o \\ de \ sulfato \ de \ s\acute{o}dio \ \acute{e} \ dada \ por : \\ \\ Na_2O \ + \ (NH_4)_2 \ \rightarrow \ Na_2SO_4 \ + \ H_2O \ + \ NH_3 \\ \\ Para \ o \ balanceamento \ da \ equa\c{c}\tilde{a}o \ , \ utilizam-se \ coeficientes \\ x \ , \ y \ , z \ , w \ e \ t \ , \ tais \ que \ \\ \\ x \ Na_2O \ + \ y \ (NH_4)_2SO_4 \ \rightarrow \ z \ Na_2SO_4 \ + \ w \ H_2O \ + \ t \ NH_3$

$e \ , \ igualando-se \ as \ quantidades \ de \ cada \ componente \ nos \ dois \ lados \\ da \ equa\c{c}\tilde{a}o \ , \ obt\acute{e}m-se \ um \ sistema \ de \ equa\c{c}\tilde{o}es \ nas \ vari\acute{a}veis \\ x \ , \ y \ , \ z \ , \ w \ e \ t . \\ \\ Para \ o \ exemplo \ apresentado \ acima \ , represente \ matricialmente \ o \\ sistema \ de \ equa\c{c}\tilde{o}es \ lineares \ nas \ vari\acute{a}veis \ x \ , \ y \ , \ z \ , \ w \ e \ t \ .$

Answer 1

(Após checar como funciona o balanceamento de equações químicas)

Balanceamento químico implica na lei de Lavoisier, “A soma das massas das substâncias reagentes é igual à soma das massas dos produtos da reação”

Partindo disso, tudo que tem de um lado terá que se apresentar no outro. Logo:

Quantidade de sódio (Na):

$2x = 2z$

Quantidade de oxigênio (O):

$x + 4y =4z +w$

Quantidade de nitrogênio (N):

$2y = t$

Quantidade de Hidrogênio (H):

$8y =2w + 3t$

Quantidade de enxofre (S):

$y = z$
________________________________

O sistema fica dessa forma:

2x - 2z = 0
x + 4y - 4z - w = 0
2y - t = 0
8y - 2w - 3t = 0
y - z = 0

Agora o sistema matricialmente (anexei um foto dele)