Question

2^× + 2^-× / 2^× - 2^-× = 3. Alguém sabe como fazer?

Answer 1

Vamos utilizar uma variável auxiliar: $y=2^x$
$\frac{2^x + 2^{-x}}{2^{x} - 2^{-x}} = 3\\ \\\frac{2^x + \frac{1}{2^x}}{2^{x} - \frac{1}{2^x}} = 3\\ \\ \frac{y+ \frac{1}{y} }{y- \frac{1}{y} } =3\\ \\y+ \frac{1}{y} =3\cdot \Big(y-\frac{1}{y} \Big)\\ \\y+ \frac{1}{y} =3y-\frac{3}{y}\ \ \ \ \ (\times \ y)\\ \\y^2+1=3y^2-3\\ \\3y^2-3=y^2+1\\ \\3y^2-y^2=1+3\\ \\2y^2=4\\ \\y^2=\frac{4}{2}\\ \\y^2=2\\ \\y=\pmsqrt{2}$

Vamos calcular o valor de x:
Se $y=\sqrt{2}$
$y=2^x\\ \\\sqrt{2} =2^x\\ \\2^{\frac{1}{2}}=2^x\\ \\ x=\frac{1}{2}$

Se $y=-\sqrt{2}$
$y=2^x\\ \\-\sqrt{2} =2^x \ \ ???$ 

Observe que para y negativo não haverá um valor para x, pois qualquer que seja o valor de x, nunca iremos obter um valor negativo. Diante dessa situação a solução será x = 1/2.
$S=\{ \frac{1}{2} \}$