Question

Alguém pode me ajudar nessa questão de trigonometria ?

Calcule o menor valor positivo de a que satisfaz a igualdade
tg(a) x tg(75º) =$(\sqrt{3} + 1) / (\sqrt{3} - 1 )$

Answer 1

(i) A primeira coisa a se fazer aqui é calcular a tangente de 75°. Existe uma fórmula para a tangente da soma de dois ângulos, que é dada por

$\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}$

Além disso, note que 75° = 45° + 30°, que são dois ângulos que sabemos o valor da tangente. Aplicando esses valores na fórmula acima temos:

$\tan(45^\circ+30^\circ) = \dfrac{\tan 45^\circ+\tan30^\circ}{1- \tan 45^\circ.\tan 30^\circ}\\ \\ \tan75^\circ = \dfrac{1+\frac 1\sqrt3}{1-1.\frac{1}{\sqrt3}} \\ \\ \tan75^\circ= \dfrac{(\sqrt3+1)/\sqrt3}{(\sqrt3-1)/\sqrt3}\\ \\ \underline{\overline{\tan75^\circ = \dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}}}$

(ii) Calculado o valor da tangente de 75°, podemos usar esse valor na equação e ver o que aparece de informação útil:

$\tan a.\tan 75^\circ=\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\\ \\ \tan a.\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}=\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\\ \\ \tan a=1$

Encontramos uma equação trigonométrica no fim das contas. Podemos resolvê-la e dizer quais são todas as raízes da equação, mas como é pedida apenas a menor raiz positiva, encontramos que $a$ só pode valer 45°.

R: 45°