Question

Determine os valores de x que resolvem a equação |-x+2| + |-x-3| = 2

Obs. Ao tentar resolver, a minha resposta deu S = {-3/2 , 1/2}

Answer 1

Resolver a equação modular:

|– x + 2| + |– x – 3| = 2

|– x + 2| = 2 – |– x – 3|


Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos

|– x + 2|² = ( 2 – |– x – 3| )²

|– x + 2|² = 2² – 2 · 2 · |– x – 3| + |– x – 3|²

(– x + 2)² = 4 – 4 · |– x – 3| + (– x – 3)²

(– x + 2)² – 4 – (– x – 3)² =  – 4 · |– x – 3|

x² – 4x + 4 – 4 – (x² + 6x + 9) = – 4 · |– x – 3|

x² – 4x + 4 – 4 – x² – 6x – 9 = – 4 · |– x – 3|

x² – x² – 4x – 6x + 4 – 4 – 9 = – 4 · |– x – 3|

– 10x – 9 = – 4 · |– x – 3|


Elevando os dois lados ao quadrado novamente:

(– 10x – 9)² = ( – 4 · |– x – 3| )²

100x² + 180x + 81 = 16 · |– x – 3|²

100x² + 180x + 81 = 16 · (x² + 6x + 9)

100x² + 180x + 81 = 16x² + 96x + 144

100x² + 180x + 81 – 16x² – 96x – 144 = 0

100x² – 16x² + 180x – 96x + 81 – 144 = 0

84x² + 84x – 63 = 0

21 · (4x² + 4x – 3) = 0

4x² + 4x – 3 = 0    ———>   a = 4,   b = 4,   c = – 3


Δ = b² – 4ac

Δ = 4² – 4 · 4 · (– 3)

Δ = 16 + 48

Δ = 64


x = (– b ± √Δ)/(2a)

x = (– 4 ± 8)/(2 · 4)

x = (– 4 ± 8)/8

x = (– 4 – 8)/8    ou    x = (– 4 + 8)/8

x = – 12/8    ou    x = 4/8     (simplificando...)

x = – 3/2    ou    x = 1/2

________


Atenção: devemos testar os valores encontrados para verificar se são de fato solução para a equação dada inicialmente:

•   Testando x = – 3/2:

|– (– 3/2) + 2| + |– (– 3/2) – 3|

= |(3/2) + 2| + |(3/2) – 3|

= |(3/2) + (4/2)| + |(3/2) – (6/2)|

= |7/2| + |– 3/2|

= (7/2) + (3/2)

= 10/2

= 5 ≠ 2           ✕


•   Testando x = 1/2:

|(– 1/2) + 2| + |(– 1/2) – 3|

= |(– 1/2) + (4/2)| + |(– 1/2) – (6/2)|

= |3/2| + |– 7/2|

= (3/2) + (7/2)

= 10/2

= 5 ≠ 2           ✕


Nenhum dos valores encontrados para x é solução da equação modular dada inicialmente.

O conjunto solução é vazio:   S = Ø.


Bons estudos! :-)


Tags:  equação modular quadrática discriminante báscara verificar testar solução resolver álgebra