Dois prêmios ser distribuído entre n pessoas, de modo que uma mesma pessoa não receba mais que um prêmio. Se os prêmios forem iguais, a distribuição poderá ser feita de K+20 maneiras, mas, se os prêmios forem distintos, a distribuição poderá ser feita de 4k-10 maneiras. Determine o número n de pessoas.
Respostas
condições:
-> Prémios iguais a distribuição poderá ser efetuada de (K + 20) maneiras
-> Prémios diferentes a distribuição poderá ser efetuada de (4K - 10) maneiras
..note que devemos associar a "prémios iguais" o conceito de Combinação Simples e a "prémios diferentes" o conceito de Arranjo Simples.
mas, em primeiro lugar temos de determinar o valor de "K" ..o que nem é difícil dado que podemos estabelecer a seguinte igualdade:
"2" . (K + 20) = 4K - 10
...note que tivemos de colocar o "2" a multiplicar o (K+20) para tornar a Combinação Simples "equivalente" ...ao Arranjo Simples
Resolvendo:
2K + 40 = 4K - 10
40 + 10 = 4K - 2K
50 = 2K
25 = K
...pronto agora vamos ver (exatamente) o número de maneiras para cada caso
K + 20 = 25 + 20 = 45
4K - 10 = 100 - 10 = 90
agora é só aplicar a cada fórmula (Combinação e Arranjo) e conferir o valor de "n"
C(n, 2) = 45
n!/2!(n-2)! = 45
n. (n-1).(n-2)!/2!(n-2)! = 45
n(n - 1)/2! = 45
n² - n = 90
n² - n - 90 = 0
...as raízes desta equação são n₁ = - 9 e n₂ = 10
como não há fatoriais de números negativos ..então n = 10
seguindo o mesmo raciocínio para
A(n, 2) = 90
n!/(n-2)! = 90
n(n-1)(n-2)!/(n-2)! = 90
n(n-1) = 90
..a partir daqui a resolução é igual á anterior pelo que se confirma que n = 10
Espero ter ajudado
Resposta:
10 pessoas!
Explicação passo-a-passo:
Fala meu camarada, tranquilo? Essa é uma questão de análise combinatória com sistema. Vamos lá:
Se os prêmios forem iguais, a ordem não iria importar, ou seja, vamos usar PFC(princípio fundamental da contagem) e dividir pelo número de elementos do grupo.(pode-se usar combinação também, mas por PFC, seria mais direto)
n. n-1 /2!=K+20
Passa esse 2 multiplicando, e resolvendo a multiplicação,teremos:
n²-n=2k+40
Caso os prêmios sejam diferentes, a ordem importaria, portanto, não iremos dividir. (Pode-se usar arranjo, mas por PFC, seria mais direto, novamente)
n . n-1 = 4k-10
Resolvendo:
n²-n=4k-10
Portanto, temos o seguinte sistema:
n²-n=2k+40
n²-n=4k-10
OBS: nesse caso, basta igualar as 2 equações de variável K, pois iremos substituir!
2k+40=4k-10
2k=50
k=25
Com o K=25, basta substituir em qualquer sistema
n²-n= 2(25)+40
n²-n-90=0
Basta resolver esta equação de 2 grau. Irei utilizar Bhaskara.
Delta= 1+360=361
OBS: nesse caso, a solução negativa será desconsiderada, pois não existe um conjunto de pessoas negativo.
n= 1+19/2= 10
PORTANTO: N=10