Question

Determine o valor de n nas equações:

(n+2)!+(n+1)!=15n!

Answer 1

(n + 2)! + (n + 1)! = 15n!

(n + 2)(n + 1)n! + (n + 1)n! = 15n!

n![(n + 2)(n + 1) + (n + 1)] = 15n!

n!(n² + n + 2n + 2 + n + 1) = 15n!

n!(n² + 4n + 3) = 15n!

(n² + 4n + 3) = 15n!/n!

n² + 4n + 3 = 15

n² + 4n - 12 = 0

Δ = 4² - 4 . 1 . (-12)

Δ = 16 + 48

Δ = 64

n = (-4 +/- √64)/2

n = (-4 +/- 8)/2

n' = (-4 + 8)/2 = 4/2 = 2

n" = (-4 - 8)/2 = -12/2 = - 6 (não serve)

n = {2}.

verificação:

(n + 2)! + (n + 1)! = 15n!

(2 + 2)! + (2 + 1)! = 15 . 2!

4! + 3! = 15 . 2!

24 + 6 = 15 . 2

30 = 30

Answer 2

Levia,
Vamos passo a passo

Expandindo convenientemente fatoriais

(n + 2)(n + 1)n! + (n + 1)n! = 15n!

Fatorando
n![(n + 2)(n + 1) + (n + 1)] = 15n!

Simplificando
(n + 2)(n + 1) + (n + 1) = 15

Efetuando operações
n^2 + 3n + 2 + n + 1 - 15 = 0
n^2 + 4n - 12 = 0

Fatorando
(n + 6)(n - 2) = 0
       n + 6 = 0
                               n1= - 6
       n - 2 = 0
                               n2 = 2

Em se tratando de fatorial, desconsiderar raiz negativa
                                                           S = {2}