Question

A abscissa de um ponto P é -6 e sua distância ao ponto Q ( 1,3 ) é √74 . Determine a ordenada do ponto.

Answer 1

Olá Rick.

Primeiro passo é anotar as informações que temos:
P = (-6, y)
Q = (1,3)
Distância de P até Q é de $\sqrt{74}$

usando a fórmula da distância entre dois pontos podemos resolver o problema assim:

d_{p,q} = $\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$

substituindo x_1 e y_1 as coordenadas do ponto P, e x_2 e y_2 as coordenadas do ponto Q e d_{p,q} por √74  ficaremos com:

$\sqrt{74} = \sqrt{(-6-1)^2 + (y-3)^2}$

...elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado para eliminar a raiz, assim:

$(\sqrt{74})^2 =( \sqrt{(-6-1)^2 + (y-3)^2} )^2$

e ficamos com:

$74 = (-7)^2 + ( y - 3)^2$

$74 = 49 + (y-3) * (y-3)$

$74 = 49 + y^2 - 3y - 3y + 9$

$74 = y^2 -6y +49 + 9$

$y^2 - 6y +58-74 = 0$

$y^2 - 6y -16 = 0$

chegamos a uma equação do segundo grau.
neste caso temos duas raizes (valores para y).

são eles:

y = -2  ou  y = 8

então y pode ser tanto -2 quanto 8.

É isso, espero ter ajudado ;D !!

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores das ordenadas para o ponto "P" são, respectivamente:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y' = -2\:\:\:e\:\:\:y'' = 8\:\:\:}}\end{gathered} }$

Analisando o enunciado, podemos montar os seguintes dados:

                          $\Large\begin{cases}d_{\overline{PQ}} = \sqrt{74}\\P = (-6,\,y)\\ Q = (1, 3)\end{cases}$

Sabendo que a distância entre os pontos "P" e "Q" pode ser desenvolvida a partir da seguinte estratégia:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d_{\overline{PQ}} = \sqrt{(x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2}}\end{gathered} }$

Para facilitar os cálculos podemos inverter os membros da equação "I". Então, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{(x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2}} = d_{\overline{PQ}}\end{gathered} }$

Substituindo os dados na equação "II", temos:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{(1 - (-6))^{2} + (3 - y)^{2}} = \sqrt{74}\end{gathered} }$

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} (\sqrt[\!\diagup\!\!]{(1 - (-6))^{2} + (3 - y)^{2}})^{\!\diagup\!\!\!\!2} = (\sqrt[\!\diagup]{74})^{\!\diagup\!\!\!\!2}\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} (1 + 6)^{2} + (3 - y)^{2} = 74\end{gathered}$

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 7^{2} + (3 - y)^{2} = 74\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 49 + 9 - 6y + y^{2} = 74\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y^{2} - 6y + 49 + 9 - 74 = 0\end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y^{2} - 6y - 16 = 0\end{gathered}$

Chegando na equação do segundo grau, devemos calcular as raízes. Então, temos:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y = \frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2} - 4\cdot1\cdot(-16)}}{2\cdot1}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{36 + 64}}{2}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{100}}{2}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{6\pm10}{2}\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\pm5\end{gathered}$

Obtendo as raízes:

     $\Large\begin{cases} y' = 3 - 5 = -2\\y'' = 3 + 5 = 8\end{cases}$

Portanto, as ordenadas do ponto P pertencem ao seguinte conjunto solução:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-2,\,8\}\end{gathered}$

✅ Desta forma, as possíveis coordenadas do ponto P são:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} P' = (-6,\,-2)\:\:\:e\:\:\:P'' = (-6,\,8)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$