Question

Determine x de modo que a sequência (x-1, x^2-4, 3x-1) seja uma PA crescente.

Answer 1

a1 = x - 1
a2 = x² - 4
a3 = 3x - 1

( a1   +  a3 ) = 2 ( a2 )
( x - 1) + ( 3x - 1)  = 2 ( x² - 4)
4x - 2 = 2x² - 8
4x - 2 - 2x² + 8 = 0
-2x² + 4x + 6 = 0
x² - 2x - 3 = 0
delta = 4 + 12 = 16 ou +-V16 = +-4 ****

x = ( 2 +-4)/2 
x1 =6/2 = 3 ****
x2 = -2/2 = -1 ****9 NÃO SERVIRÁ POIS A PA SERÁ CRESCENTE
PARA X = 3
X - 1  = 3 - 1  = 2 ***
X² - 4 = 3²  - 4 = 9 - 4 = 5 ****
3X - 1 = 3 (3)  - 1 = 9 - 1 = 8 ****

Answer 2

O que determina que uma sequência é uma PA é o fato de a diferença entre os termos consecutivos (razão) ser igual. Assim, igualando a diferença entre os termos consecutivos da sequência dada:

$(x^2-4)-(x-1)=(3x-1)-(x^2-4)\\\\ x^2-x-3=-x^2+3x+3\\\\ 2x^2-4x-6=0\\\\ x^2-2x-3=0\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)\\\\ \Delta=4+12=16\\\\\\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{16}}{2\cdot1}=\dfrac{2\pm4}{2}=1\pm2\\\\\\ x_1=1+2~~ou~~~~ x_2=1-2\\\\ x_1=3~~~~~~~ou~~~~x_2=-1$

Agora, vamos usar o dado de que a PA é crescente, isto é, a diferença entre um termo e seu antecessor é positiva (razão > 0). Tomando a diferença entre os dois primeiros termos, por exemplo, podemos encontrar a expressão da razão (r):

$r=a_2-a_1\\\\ r=(x^2-4)-(x-1)\\\\ r=x^2-x-3$

Calculando a razão para cada valor de x obtido:

Para x=3:

$r=x^2-x-3\\\\ r_1=3^2-3-3\\\\ r_1=9-3-3\\\\ r_1=3\Longrightarrow r_1>0$

Para x=-1:

$r=x^2-x-3\\\\ r_2=(-1)^2-(-1)-3\\\\ r_2=1+1-3\\\\ r_2=-1\Longrightarrow r_2<0$

Como a razão é positiva, apenas nos serve o valor de x tal que r=3. Desse modo: $\boxed{x=3}$