Question

Obtenha o valor de x em :
A) x = sen 20° - sen 160° + cos 44° + cos 136°

Answer 1

Dois ângulos $\alpha$ e $\beta$ são ditos suplementares se $\alpha+\beta=180\º$

Nesse caso, $\beta$ é dito o suplemento de $\alpha$, ou $\alpha$ é dito o suplemento de $\beta$.
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Note que 160º é o suplemento de 20º (pois 20º + 160º = 180º), e 136º é o suplemento de 44º (pois 44º + 136º = 180º). Então, vamos procurar uma relação entre o seno e o cosseno de um ângulo e seu suplemento
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Sendo $\alpha$ um ângulo, temos que $\beta=180\º-\alpha$ é seu suplemento (pois esses ângulos somam 180º)

Usando a fórmula do seno da diferença de arcos, temos

$\sin\beta=\sin(180\º-\alpha)=\sin180\º\cdot\cos\alpha-\sin\alpha\cdot\cos180\º\\\\\sin\beta=0\cdot\cos\alpha-\sin\alpha\cdot(-1)\\\\\sin\beta=0+\sin\alpha\\\\\boxed{\boxed{\sin(\beta)=\sin\alpha}}$

(ou seja, o seno de um ângulo é igual ao seno de seu suplemento)

Usando a fórmula do cosseno da diferença de arcos, temos

$\cos\beta=\cos(180\º-\alpha)=\cos180\º\cdot\cos\alpha-\sin180\º\cdot\sin\alpha\\\\\cos\beta=(-1)\cdot\cos\alpha-0\cdot\sin\alpha\\\\\cos\beta=-\cos\alpha-0\\\\\boxed{\boxed{\cos\beta=-\cos\alpha}}$

(ou seja, o cosseno de um ângulo é o oposto do cosseno de seu suplemento)
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$x=\sin20\º-\sin160\º+\cos44\º+\cos136\º$

Como 20º é o suplemento de 160º, $\sin20\º=\sin160\º$
Como 44º é o suplemento de 136º, $\cos44\º=-\cos136\º$

Substituindo:

$x=\sin160\º-\sin160\º-\cos136\º+\cos136\º\\\\x=0+0\\\\\boxed{\boxed{x=0}}$